ポリトープ（まともな）エキスパンダーのエッジ頂点グラフはありますか？

この質問は、多項式ヒルシュ予想（PHC）に触発されています。ファセットポリトープが与えられた場合、そのエッジ頂点グラフ（と呼ぶ）のスペクトルギャップはによって下限が設定されていますか？n頂点のサイクルグラフは、d = 2の場合でも、スペクトルギャップはO （1 / p o l y（n ））と同じくらい小さい可能性があることを示していることに注意してください。そのため、推測された範囲は（もし本当なら）ほぼタイトになります。$n$$P$$\mathbb R^d$$G$$\Omega(1/\mathrm{poly}(n))$$n$$d=2$$O(1/\mathrm{poly}(n))$

はいの答えは、PHCを意味します。実際、ポリトープの頂点をランダムウォークするだけで線形プログラムを効率的に解くことができ、このアルゴリズムは目的関数にあまり注意を払っていません！これは本当であるにはあまりにも良いようです。

それで、この問題の状態は何ですか：オープン（PHCなど）、または偽ですか？falseの場合、単純な反例はありますか？

注：エキスパンダーの定義に伴う通常の複雑さについて理解しましたは規則的または2部構成である必要はありません。これらの技術的な問題の両方が標準的な方法を使用して克服できることを望みます。特に、これらが私の質問を些細なものにしないことを願っています。（間違っている場合は修正してください！）$G$

0 / 1-ポリトープ（すべての頂点座標が0または1）の場合、これは真実であることがわかりません。ミハイルとバジラニによる、0 / 1-ポリトープのグラフのエッジ拡張は少なくとも1つであるという推測があります。詳細については、Volker Kaibelの論文に記載されています。

2つのことに注意する必要があります。（1）0 / 1-ポリトープの場合、ヒルシュ予想は真です。（2）ポリトープの頂点でランダムウォークを実行する場合、縮退の可能性に注意する必要があります。1つの頂点は多くのベースに対応することができるため、ベース上でランダムウォークを実行すると、ウォークは同じ頂点にとどまることができます。頂点をランダムウォークする場合は、隣接するランダムな頂点を与える手順が必要です。

$n^{[d/2]}$

「双対隣接」ポリトープの1 / poly（n）分離を証明しました。（これは多項式Hiresch予想の私の最初のショットでした。）「凸ポリトープとfベクトル理論のグラフの直径」応用幾何学と離散数学、387-411、DIMACS Ser。Discrete Math。Theoret。Comput。Sci。 、4、Amer。Math。Soc。、プロビデンス、RI、1991年。