エキスパンダーグラフのNPハード問題？

EXPANDER GRAPHS- 2006年のプレゼンテーションでは、ミステリーは残っていますか？、Nati Linialは次の未解決の問題を提起しました。

エキスパンダーグラフに制限された場合、グラフ上のどのな計算問題は困難なままですか？ $NP$

それ以来、な問題に対するそのような結果を証明するための進展はありましたか？ $NP$

cc.complexity-theory np-hardness expanders

— モハマドアルトルコキスタニー
ソース

この質問が興味深い理由を誰かが詳しく説明できますか？エキスパンダーグラフに制限されたときにNP困難な問題が簡単になる例はありますか？

— ユッカスオメラ

@Jukka：エクスパンダとすることができる

小さいため-regular

（例えば、

）、まだいくつかのNP困難な問題は、max-度のクラスに容易である

小ためのグラフ

（のための例えばグラフ彩色

）。

d

$d$

d

$d$

d = 3

$d=3$

d

$d$

d

$d$

d < 4

$d<4$

— アンドラスサラモン

@András：もちろんですが、それは拡張プロパティとは実際には関係ありません。私は言い換えるてみましょう：私たちは上の困難な問題の例を持っていない

-regularグラフが、簡単に

-regularパンダグラフを？

d

$d$

d

$d$

— ユッカスオメラ

@Jukka：制約グラフがエキスパンダーの場合、ユニークなゲームは多項式時間近似アルゴリズムを持つことが示されました[Arora-Khot-Kolla-Steurer-Tulsiani-Vishnoi STOC '08]。これは一般的なグラフの場合とは異なり、UGCが真である場合、実際には多項式時間アルゴリズムはありません。これをトルコ人の質問の動機と考えました。

— arnab

@Jukka、私の動機は、エキスパンダーのランダムな性質と問題の計算の難しさとの関係を理解することです。たとえば、エクスパンダーで独立セットが簡単になるとは思わない。

— モハマドアルトルコ

回答:

「アンバランスパンダ」は、この問題のためにエクスパンダ（不平衡パンダとして数えた場合：A二部グラフ、その結果、すべての部分集合のための、の分数と間エッジは約 $G=(A,B,E)$ $A'\subseteq A$ $B'\subseteq B$ $A'$ $B'$ ${|A'||B'|}/{|A||B|}$ ）それから、はい、エキスパンダーに関する多くの問題（たとえば、制約充足の問題）は、近似するのが困難です。

特に、2クエリ、低エラー、PCP定理[2008年のRan Razとの]の証明は、エキスパンダーグラフを構築します。

— ダナ・モシュコヴィッツ
ソース

そして、あなたはこの質問への答えを持っている可能性があるため、あなたの最後の行では、あなたは、あなたの論文がアンバランスパンダを構築することを意味しています：cstheory.stackexchange.com/questions/592/...

— スレシュヴェンカト

Suresh：はい、紙は不均衡なエキスパンダー/サンプラー/エクストラクターを構築しますが、そのような既知の構築よりも優れているわけではありません。

— ダナモシュコビッツ

多くの正確な問題（およびおそらく強力な近似問題も）がエキスパンダーでNP困難であることを示すのは簡単かもしれません。アイデアは、あなたが任意の定数度グラフ取る場合ということである上のの頂点を、そして別のエキスパンダー追加上互いに素頂点との間のマッチング入れと、あなたはエキスパンダーを得ます。半分未満の頂点の任意のセットは、その外側マッチングエッジの一定の割合のいずれかを有するか、またはとの交差点であることを理由ほとんどが言うにありますの画分の頂点。 $G$ $n$ $H$ $n$ $G$ $H$ $H$ $0.51$ $H$

任意に選択できるので（ランダムグラフを取るなど）、でNP問題の最適な解を知ることができます。したがって、（問題に応じて）希望があるかもしれません。少なくとも近似解。しかし、具体的な問題についてはこれを検証しませんでした。 $H$ $H$ $G$

もちろん、上記のように、そのようなトリックを行うことができない自然な問題（最も顕著なユニークなゲーム）があり、特にアルゴリズムはエキスパンダーで知られており、一般的なケースでは知られていません。また、NPは一般に難しいが、エキスパンダーでは簡単な問題のいくつかの不自然な例を考え出すことができるはずです（たとえば、グラフで任意のNPの難しい問題を取り、スペクトルギャップがはYES ...）。 $1/\log n$

— ボアズ・バラク
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