タグ付けされた質問 「pde」

偏微分方程式（PDE）は、複数の変数の関数の偏微分を関連付ける方程式です。このタグは、PDEによる現象のモデリング、PDEの解決、およびその他の関連する側面に関する質問を対象としています。

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Adams-BashforthアルゴリズムよりもAdams-Moultonを使用する相対的な利点は何ですか？
私は、2つの空間次元と時間で2つの結合PDEのシステムを計算的に解いています。関数の評価には費用がかかるため、マルチステップメソッド（Runge-Kutta 4-5を使用して初期化）を使用したいと思います。 5つの以前の関数評価を使用するAdams-Bashforthメソッドは、グローバルエラー（これは、以下で参照するWikipedia記事場合です）で、ステップごとに1つの関数評価（PDEごと）が必要です。O （h5）O（h5）O(h^5)s = 5s=5s=5 一方、Adams-Moulton法では、ステップごとに2つの関数評価が必要です。1つは予測ステップ用で、もう1つは修正ステップ用です。繰り返しますが、5つの関数評価が使用される場合、グローバルエラーはです。（ウィキペディアの記事では）O （h5）O（h5）O(h^5)s = 4s=4s=4 では、Adams-BashforthよりAdams-Moultonを使用する理由は何ですか？関数の評価回数が2倍になると、同じ次数のエラーが発生します。直観的には、予測子修正子メソッドが好ましいはずですが、誰かがこれを定量的に説明できますか？ 参照：http : //en.wikipedia.org/wiki/Linear_multistep_method#Adams.E2.80.93Bashforth_methods
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いくつかのPDE問題を数値的に解決する場合、変数のスケーリングは不可欠ですか？
半導体シミュレーションでは、方程式が正規化された値になるようにスケーリングされるのが一般的です。たとえば、極端な場合、半導体の電子密度は18桁以上変動する可能性があり、電界は6桁（またはそれ以上）規模で変化する可能性があります。 しかし、論文はこれを行う理由を実際に示していない。個人的には、実際の単位で方程式を扱って満足していますが、これを行う数値的な利点はありますか、そうでなければ不可能ですか？倍精度では、これらの変動に対処するのに十分な桁があると思いました。 両方の答えは非常に便利です、どうもありがとう！
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空間と時間の両方で並列処理を使用したPDE計算の例
初期境界値PDEの数値解法では、空間で並列処理を使用することが非常に一般的です。時間離散化で何らかの形式の並列処理を使用することはあまり一般的ではなく、通常、並列処理ははるかに制限されています。時間的並列性を示すコードと公開された作品の数が増えていることは承知していますが、空間的並列性を含むものはありません。 空間と時間の両方に並列性を含む実装の例はありますか？出版物と入手可能なコードの両方に興味があります。
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有限差分法によって離散化された移流方程式の境界条件
有限差分法を使用してPDEを解くときに境界条件を選択する方法を説明するのに役立つリソースを見つけようとしています。 私が現在アクセスできるすべての本とメモは、同様のことを言っています： 境界が存在する場合の安定性を管理する一般規則は、入門テキストとしては複雑すぎます。彼らは洗練された数学的な機械を必要とします （A.イセル微分方程式の数値解析の最初のコース） たとえば、移流方程式に2段階のリープフロッグ法を実装しようとする場合： あなたはn + 1私= あなたn − 1私+ μ （uni + 1- Uni − 1）あなたは私n+1=あなたは私n−1+μ（あなたは私+1n−あなたは私−1n）u_i^{n+1} = u_i^{n-1} + \mu (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n) MATLABを使用して M = 100; N = 100; mu = 0.5; c = [mu 0 -mu]; f = @(x)(exp(-100*(x-0.5).^2)); u = zeros (M, N); x = …
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模倣有限差分法の実例
インターネットで簡潔な説明を見つけようとする限り、模倣の有限差分の概念や、標準の有限差分との関係を把握することはできません。古典的な線形PDE（双曲線、楕円、および放物線）に対してそれらがどのように実装されるかの簡単な例を見ると、本当に役立ちます。
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差分法で境界条件を課す方法
高次の中心差分近似を使用したいときに問題があります： （- Ui + 2 、j+ 16 ui + 1 、j− 30 ui 、j+ 16 ui − 1 、j- Ui − 2 、j12）（−あなたは私+2、j+16あなたは私+1、j−30あなたは私、j+16あなたは私−1、j−あなたは私−2、j12）\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right) ポアソン方程式の （あなたx x+ あなたyy= 0 ）（あなたはバツバツ+あなたはyy=0）(u_{xx}+u_{yy}=0)境界条件が次の正方形領域の場合： u(0,y）=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=sinπyu(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y）=罪⁡πyu(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y Δx=Δy=0.1Δx=Δy=0.1\Delta{x}=\Delta{y}=0.1 ドメインの内側のポイントの値を取得する場合、この近似を考慮して、いくつかのポイントは境界の外側のポイントに依存します。たとえば、には、の値が境界の外側にある必要があります。この場合、誰でも助けてくれますか？ u1,1u1,1u_{1,1}ui−2,j=u−1,0ui−2,j=u−1,0u_{i-2,j}=u_{-1,0}
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多くの次元のPDE
PDEの近似解を見つけるためのほとんどの方法は、次元の数に応じてスケーリングが不十分であり、モンテカルロは100次元以下を必要とする状況に使用されることを知っています。 〜4-10次元のPDEを効率的に数値的に解くための良い方法は何ですか？10-100？ 次元の数に応じて適切にスケーリングするモンテカルロ以外の方法はありますか？
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ノイマン問題を解決し、レベル数に依存しない収束速度を持つマルチグリッドアルゴリズムはありますか？
マルチグリッド法は通常、レベル上のディリクレ問題を解決します（たとえば、ポイントヤコビやガウスザイデル）。連続有限要素法を使用する場合、小さなディリクレ問題を組み立てるよりも、小さなノイマン問題を組み立てる方がはるかに安価です。BDDC（FETI-DPなど）などの非重複ドメイン分解法は、レベルで「ピン留めされた」ノイマン問題を解決するマルチグリッド法として解釈できます。残念ながら、マルチレベルBDDCの条件数は次のようにスケーリングされます C（ 1 + ログ（Hh））2 LC（1+ログ⁡（Hh））2LC \left(1 + \log \left(\frac{H}{h}\right)\right)^{2L} ここで、はレベル数、は粗化率です。対照的に、ディリクレ問題に基づくスムーザーを使用したマルチグリッド法の条件数には、レベル数に依存しない条件数があります。H / hLLLH/ hH/hH/h レベルの独立性を失うことなく、「固定された」ノイマン問題を解決する方法はありますか？
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固有値問題の検証
フォームの問題から始めましょう (L+k2)u=0(L+k2)u=0(\mathcal{L} + k^2) u=0 与えられた境界条件のセット（Dirichlet、Neumann、Robin、Periodic、Bloch-Periodic）。これは、いくつかの幾何学および境界条件の下で、ある演算子の固有値と固有ベクトルを見つけることに対応しLL\mathcal{L}ます。たとえば、音響学、電磁気学、弾性力学、量子力学でこのような問題を得ることができます。 さまざまな方法、たとえば、有限差分法を使用して演算子を離散化できることを知っています [A]{U}=k2{U}[A]{U}=k2{U}[A]\{U\} = k^2 \{U\} または、有限要素法を使用して取得する [K]{U}=k2[M]{U}.[K]{U}=k2[M]{U}.[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace . あるケースでは、固有値問題と一般化された固有値問題を別のケースで取得します。問題の離散バージョンを取得した後、固有値問題のソルバーを使用します。 いくつかの考え Manufactured Solutionsの方法は、方程式のバランスをとるためのソース用語がないため、この場合は役に立ちません。 行列および[ M ]が、ソースタームの周波数領域の問題を使用してうまくキャプチャされていることを検証できます。たとえば、[K][K][K][M][M][M] [∇2+ω2/c2]u(ω)=f(ω),∀ω∈[ωmin,ωmax][∇2+ω2/c2]u(ω)=f(ω),∀ω∈[ωmin,ωmax][\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max] の代わりに [∇2+k2]u=0.[∇2+k2]u=0.[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace . しかし、これはソルバーの問題をチェックしません。 たぶん、FEMやFDMなどの異なる方法のソリューションを比較できます。 質問 …
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有限差分の近似ヤコビアンは、ニュートン法の不安定性を引き起こすことができますか？
私はpython 3に後方オイラーソルバーを実装しました（numpyを使用）。私自身の便宜と演習として、勾配の有限差分近似を計算する小さな関数を作成しました。これにより、ヤコビアンを常に分析的に決定する必要はありません（可能な場合でも！）。 Ascher and Petzold 1998で提供された説明を使用して、特定のポイントxで勾配を決定するこの関数を作成しました。 def jacobian(f,x,d=4): '''computes the gradient (Jacobian) at a point for a multivariate function. f: function for which the gradient is to be computed x: position vector of the point for which the gradient is to be computed d: parameter to determine perturbation value eps, …
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] 0,1 [の熱方程式の周期境界条件
私たちは一次元でスムーズな初期条件と熱方程式を考えてみましょう： ∂tu=∂xxu∂tu=∂xxu \partial_t u = \partial_{xx} u 開区間で]0,1[]0,1[]0,1[、と私たちは有限差分を数値的にそれを解決したいと仮定しましょう。 問題を適切に解決するには、x=0x=0x=0およびで境界条件を付与する必要があることを知っていx=1x=1x=1ます。ディリクレまたはノイマンがうまく機能することを知っています。 最初のケースでNNN内点xk=kN+1xk=kN+1x_k=\frac{k}{N+1}のためにk=1,⋯,Nk=1,⋯,Nk=1,\cdots,N、その後、私はNNN未知数を：uk=u(xk)uk=u(xk)u_k=u(x_k)のためのk=1,⋯,Nk=1,⋯,Nk=1,\cdots,N、のでuuu境界で規定されています。 2番目のケースでは、N+2N+2N+2未知数実際にありu0,⋯,uN+1u0,⋯,uN+1u_0,\cdots,u_{N+1}、境界でラプラシアンを離散化するために（同種の）ノイマンBCを使用する方法を知っています。x−1x−1x_{-1}およびxN+2xN+2x_{N+2}および等式： u1−u−12h=0=uN+2−uN2hu1−u−12h=0=uN+2−uN2h\frac{u_1-u_{-1}}{2 h} = 0 = \frac{u_{N+2}-u_N}{2 h} 私の質問は、定期的なBCについてです。私は1つの方程式を使用することができると感じている、すなわち が、おそらく2、そして私が使用する ∂ Xのu （0 ）= ∂ X Uを（1 ）u(0)=u(1)u(0)=u(1)u(0) = u(1)∂xu(0)=∂xu(1)∂xu(0)=∂xu(1)\partial_x u(0) = \partial_x u(1) しかし、私にはわかりません。どれだけの未知数を持っているべきか、私にもわかりません。それは、？N+1N+1N+1
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有限差分法を使用するときに曲線境界条件を処理する方法は？
私は自分でPDEを数値的に解くことについて学ぼうとしています。 FDMはPDEの多くの数値的手法の基礎であると聞いたので、私はしばらくの間、差分法（FDM）から始めました。これまでのところ、FDMの基本的な理解があり、ライブラリとインターネットで見つけた資料を使用して、通常の地域にある簡単なPDEのコードを書くことができましたが、奇妙なことに、これらの資料はほとんど話せませんこのような不規則な、湾曲した、奇妙な境界の処理について。 さらに、曲線の境界に対処する簡単な方法を見たことはありません。たとえば、これまで見てきた最も詳細な議論（主にp71の3.4およびp199の6.4 ）を含む書籍「偏微分方程式の数値解法-はじめに（Morton K.、Mayers D）」は、私にとって本当に面倒でイライラする外挿。 それで、タイトルが尋ねたように、湾曲した境界に関して、FDMを使用するとき、通常人々はそれをどのように扱いますか？言い換えれば、最も一般的な治療法は何ですか？それともPDEのタイプに依存しますか？ （少なくとも比較的）エレガントで高精度の曲線境界に対処する方法はありますか？または、それは避けられない痛みですか？ 私も尋ねたいのですが、人々は実際に湾曲した境界に実際にFDMを使用していますか？そうでない場合、一般的な方法は何ですか？ 任意の助けをいただければ幸いです。
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差分法のフォンノイマン安定性解析の代替
私は、結合された1次元多孔質弾性方程式（biotのモデル）の解決に取り組んでいます。 −(λ+2μ)∂2u∂x2+∂p∂x=0−(λ+2μ)∂2u∂x2+∂p∂x=0-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0 ドメイン上でΩ=（0、1）と境界条件： ∂∂t[ γp + ∂あなたは∂バツ] - κη[ ∂2p∂バツ2] =q（x 、t ）∂∂t[γp+∂あなたは∂バツ]−κη[∂2p∂バツ2]=q（バツ、t）\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)Ω = （0 、1 ）Ω=（0、1）\Omega=(0,1) でのx=0とU=0、∂PP = 0 、（λ + 2 μ ）∂あなたは∂バツ= − u0p=0、（λ+2μ）∂あなたは∂バツ=−あなたは0p=0, (\lambda …
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圧縮性オイラー方程式を解くための可能な方法は何ですか
圧縮可能なオイラー方程式用の独自のソルバーを作成したいと思います。最も重要なことは、すべての状況でロバストに動作することです。FEベースにしたいと思います（DGは大丈夫です）。可能な方法は何ですか？ 私は0次DG（有限量）を行うことを認識しており、非常に堅牢に動作するはずです。基本的なFVMソルバーを実装しましたが、うまく機能しますが、収束が非常に遅くなります。ただし、これは間違いなく1つのオプションです。 線形化されたオイラー方程式のFEソルバー（任意のメッシュと任意の要素の任意の多項式次数で動作します）を実装しましたが、スプリアス振動を取得しています（そして最終的には吹き飛ばされるので、使用できませんので問題を解決します）。私はそれを安定させる必要があることを文献で読みました。何らかの安定化を実装すると、すべての問題（境界条件と形状）に対して安定して機能しますか？収束率はいくらですか？ それ以外に、オイラー方程式の他の堅牢な方法論がありますか（つまり、安定化を伴う高次DG）。 多くの人が自分の研究コードでさまざまなことを試したことを知っていますが、すべてのジオメトリと境界条件で機能する堅牢な方法に興味があります（編集：2Dおよび3D）。
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