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強い形式のPDEでは、未知の解が属している必要があります。しかし、弱い形式は、未知の解がH 1に属することのみを必要とします。H2H2H^2H1H1H^1 これをどのように調整しますか？

13 pde  weak-solution 

境界値の問題があると仮定します。 DUd2あなたはdバツ2+ dvdバツ= f で Ωd2あなたはdバツ2+dvdバツ=f に Ω\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega uが=時間 に ∂Ωdあなたはdバツ+ d2vdバツ2= g に Ωdあなたはdバツ+d2vdバツ2=g に Ω\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega Uは= 時間 に ∂Ωあなたは=h に ∂Ωu=h \text{ in } \partial\Omega 私の目標は、この結合問題の解を非結合PDEのシーケンスに分解することです。システムを分離するために、私は、固定された近似値のシーケンス上の点繰り返し印加だ、その結果を（あなたk、vk）（あなたはk、vk）(u^k,v^k) du k − 1d2あなたはkdバツ2+ dvk − 1dバツ= fd2あなたはkdバツ2+dvk−1dバツ=f\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f …

12 pde  iterative-method 

ドリフト拡散モデルから始めて、教育目的で基本的な半導体モデルをシミュレートしようとしています。既製の半導体シミュレーターは使いたくありませんが、他の（一般的な、最近の、または曖昧な）モデルを学習しますが、既製のPDEソルバーを使用したいと思います。 しかし、単純な1Dの場合でも、ドリフト拡散モデルはいくつかの結合した非線形PDEで構成されています。 電流密度方程式 J P = Q P （X ）μ P E （X ）+ Q D P ∇ PJn= qn （x ）μnE（x ）+ qDn∇ NJn=qn（バツ）μnE（バツ）+qDn∇nJ_n = q n(x) \mu_n E(x) + qD_n \nabla n Jp= qp （x ）μpE（x ）+ qDp∇ PJp=qp（バツ）μpE（バツ）+qDp∇pJ_p = q p(x) \mu_p E(x) + qD_p \nabla p …

12 pde 

たとえばPDEソルバーに関連して、均一にサンプリングされたデータに対して高速フーリエ変換（FFT）を使用するには、FFTが）アルゴリズムであることはよく知られています。（つまり非常に大きい）で並列処理された場合、FFTはどれくらいうまくスケールしますか？O（nログ（n ）O（nログ⁡（n）\mathcal{O}(n\log(n)n → ∞n→∞n\to\infty

12 pde  fftw  fourier-analysis 

高レイノルズ数の流れは、非常に薄い境界層を生成します。ラージエディシミュレーションで壁の解像度が使用される場合、アスペクト比はオーダーになる場合があります10610610^6。inf-sup定数はアスペクト比の平方根またはそれ以下に低下するため、多くの方法はこの体制で不安定になります。inf-sup定数は、線形システムの条件数と離散解の近似特性に影響するため重要です。特に、次の離散誤差ホールドの先験的境界（Brezzi and Fortin 1991） μ∥u−uh∥H1≤C[μβinfv∈V∥u−v∥H1+infq∈Q∥p−q∥L2]∥p−ph∥L2≤Cβ[μβinfv∈V∥u−v∥H1+infq∈Q∥p−q∥L2]μ‖u−uh‖H1≤C[μβinfv∈V‖u−v‖H1+infq∈Q‖p−q‖L2]‖p−ph‖L2≤Cβ[μβinfv∈V‖u−v‖H1+infq∈Q‖p−q‖L2]\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf …

12 pde  finite-element  fluid-dynamics  stability  incompressible 

たとえば、球体上の楕円方程式など、多様体上のPDEを解きたいです。 どこから始めますか？私は2dで既存のコード/ライブラリを使用しているものを見つけたいのですが、（今のところ）それほど空想的ではありません 後で追加：記事とレポートを歓迎します。

11 pde  finite-element  reference-request 

随伴ベースの最適化手法がPDE制約付き最適化でどのように機能するかを理解しようとしています。特に、設計変数の数は多いが「方程式の数は少ない」という問題に対して、随伴法がより効率的である理由を理解しようとしています。 私が理解していること： 次のPDE制約付き最適化問題を検討してください。 minβ I(β,u(β))s.t.R(u(β))=0minβ I(β,u(β))s.t.R(u(β))=0\min_\beta \text{ } I(\beta,u(\beta))\\ s.t. R(u(\beta))=0 ここで、は、設計変数に依存するベクトル設計変数βおよびフィールド変数未知数u （β ）の（十分に連続的な）目的関数であり、R （u ）はPDEの残差型です。IIIββ\betau(β)u(β)u(\beta)R(u)R(u)R(u) 明らかに、IとRの最初のバリエーションは δI=∂I∂βδβ+∂I∂uδuδI=∂I∂βδβ+∂I∂uδu\delta I = \frac{\partial I}{\partial \beta}\delta\beta + \frac{\partial I}{\partial u}\delta u δR=∂R∂βδβ+∂R∂uδu=0δR=∂R∂βδβ+∂R∂uδu=0\delta R = \frac{\partial R}{\partial \beta}\delta\beta + \frac{\partial R}{\partial u}\delta u = 0 ラグランジュ乗数ベクトルを導入すると、目的関数の変動は次のように記述できます。λλ\lambda δI=∂I∂βδβ+∂I∂uδu+λT[∂R∂βδβ+∂R∂uδu]δI=∂I∂βδβ+∂I∂uδu+λT[∂R∂βδβ+∂R∂uδu]\delta I = \frac{\partial I}{\partial \beta}\delta\beta + \frac{\partial …

11 optimization  pde 

誰でもポアソンの数値解法（有限差分およびクランク-ニコルソン法）に関する本や、長方形と円の間の領域で構成されるドメイン（特に本またはリンク）などの不規則な幾何学の例を含む拡散方程式に関する本を見つけるのを手伝ってもらえますかこの場合のMATLABコード例で？）

11 pde  finite-difference 

いくつかの単純な凸型ドメインのための 2Dで、我々はいくつか持っているU （X ）：下記式を満足 - D IのVを（A ∇ U ）+ C U N = F 特定ディリクレおよび/またはノイマン境界条件を有します。私の知る限り、有限要素空間でニュートンの方法を適用することは、この方程式を数値的に解くための比較的簡単な方法でしょう。ΩΩ\Omegau （x ）u(x)u(x)- D I V（A ∇ U ）+ C Un= f−div(A∇u)+cun=f -\mathrm{div}(A\nabla u)+cu^n = f 私の質問は次のとおりです。（1）ディリクレ境界条件をゼロと仮定して、この方程式の対応する変分定式化の適切性に関するソボレフ理論はありますか？もしそうなら、どのようなバナッハのスペースを考慮すべきでしょうか？（2）このタイプの方程式の可能な数値的アプローチは何ですか？

11 pde  finite-element 

私は「登録とワーピングに最適なマストランスポート」というペーパーを実装しています。私の目標は、オイラーマストランスポートコードをオンラインで見つけることができないため、オンラインにすることです。これは、少なくとも画像処理の研究コミュニティにとって興味深いものです。 この論文は次のように要約できます。 - x座標とy座標に沿った1Dヒストグラムマッチングを使用して初期マップを見つける の固定点を、ここでは反時計回りの90度回転を表し、はディリクレ境界条件（= 0）のポアソン方程式の解を表します。そして、ヤコビ行列の行列です。 -タイムステップ安定性が保証されていますu t = 1uuuあなたt= 1μ0D U ∇⊥△− 1di v （u⊥）ut=1μ0Du∇⊥△−1div(u⊥)u_t = \frac{1}{\mu_0} Du \nabla^\perp\triangle^{-1}div(u^\perp)あなた⊥u⊥u^\perp△− 1△−1\triangle^{-1}D UDuDudt &lt; 分| 1μ0∇⊥△− 1di v （u⊥）|dt&lt;min|1μ0∇⊥△−1div(u⊥)|dt<\min|\frac{1}{\mu_0}\nabla^\perp\triangle^{-1}div(u^\perp)| 数値シミュレーション（通常のグリッドで実行）の場合、ポアソン方程式を解くためにmatlabのpoicalcを使用することを示し、風上スキームを使用して計算されるD UDuDuを除いて、空間微分に中心有限差分を使用します。 私のコードを使用すると、エネルギー関数とマッピングのカールは、2、3回の反復（タイムステップに応じて数十から数千）に対して適切に減少しています。しかし、その後、シミュレーションは爆発します。非常に少ない反復でエネルギーが増加し、NANに到達します。私は微分と積分（ここで cumptrapzのより高次の置換がここにあります）といくつかの補間スキームに対していくつかの次数を試してみましたが、常に同じ問題が発生します（非常に滑らかな画像、どこでも0でないなど）。 誰かがコードや私が直面している理論上の問題に興味がありますか？コードはかなり短いです。 デバッグ機能を備えたコード 登録機能 登録する同じサイズの2つのイメージがある場合、テストコード テストスタッフなしで必要な機能のみ（&lt;100行） 最後のgradient2（）をgradient（）に置き換えてください。これはより高次の勾配でしたが、問題も解決しません。 今のところ、紙の最適な輸送部分にのみ関心があり、追加の正則化用語には関心がありません。 よろしくお願いします！

11 pde  finite-difference  matlab  fluid-dynamics  image-processing 

Raviart-Thomas（RT）要素がどのように機能するかを知りたいのですが。そのために、基底関数が参照正方形上でどのように見えるかを分析的に説明したいと思います。ここでの目標は、それを自分で実装することではなく、単に要素を直感的に理解することです。 私は、この作業をここで説明した三角形要素に主に基づいています。おそらく、四角形に拡張すること自体が誤りです。 つまり、最初のRK要素RK0の基底関数を定義できます。 ϕi(x)=a+bx=(a1+b1xa2+b2y)ϕi(x)=a+bx=(a1+b1xa2+b2y)\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix} fori=1,…,4.i=1,…,4.i = 1,\dots,4. の条件は次のとおりです。ϕiϕi\mathbf{\phi}_i ϕi(xj)⋅nj=δijϕi(xj)⋅nj=δij\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij} ここで、は以下に示す単位法線で、はその座標です。njnj\mathbf{n}_jxjxj\mathbf{x}_j これは参照二乗なので、各基底関数の方程式系になります。ためこれは、次のとおりです。[ - 1 、1 ] × [ 1 、1 ][−1、1]×[1、1][-1,1]\times[1,1]φ1φ1\mathbf{\phi}_1 ⎛⎝⎜⎜⎜10− 100− 10110100101⎞⎠⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜a1a2b1b３⎞⎠⎟⎟⎟= ⎛⎝⎜⎜⎜1000⎞⎠⎟⎟⎟（10100−101−10100101）（a1a2b1b３）=（1000）\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & …

10 pde  finite-element 

不連続ガラーキン法（DG）と次の離散化を使用して2Dポアソン方程式を解こうとしています（pngファイルがありますが、アップロードできません。申し訳ありません）。 方程式： ∇⋅(κ∇T)+f=0∇⋅(κ∇T)+f=0\nabla \cdot( \kappa \nabla T) + f = 0 新しい方程式： q=κ∇T∇⋅q=−fq=κ∇T∇⋅q=−fq = \kappa \nabla T\\\nabla \cdot q = -f 数値フラックスおよび弱い形式：T^T^\hat{T}q^q^\hat{q} ∫q⋅wdV=−∫T∇⋅(κw)dV+∫κT^n⋅wdS∫q⋅∇vdV=∫vfdV+∫q^⋅nvdS∫q⋅wdV=−∫T∇⋅(κw)dV+∫κT^n⋅wdS∫q⋅∇vdV=∫vfdV+∫q^⋅nvdS\int q \cdot w dV = - \int T \nabla \cdot (\kappa w) dV + \int \kappa \hat{T} n \cdot w dS\\ \int q \cdot \nabla v dV …

10 pde  finite-element  fenics 

クランクニコルソン有限差分スキームを使用して、1D熱方程式を解いています。熱方程式の最大/最小原理（つまり、最大/最小が初期条件または境界で発生する）も離散化された解に当てはまるかどうか疑問に思っています。 これはおそらく、クランクニコルソンが安定した収束型スキームであることによって暗示されています。しかし、Crank-Nicolsonステンシルから作成された行列を使用して、線形代数引数を介してこれを直接証明できる可能性があるようです。 これに関する文献へのポインタをいただければ幸いです。ありがとう。

10 linear-algebra  pde  finite-difference  crank-nicolson 

私は次のC ++コードでチューリングの反応拡散システムを解決しています。これは遅すぎます。128x128ピクセルのテクスチャの場合、許容可能な反復数は200です。これにより、2.5秒の遅延が発生します。興味深い画像を取得するには400回の反復が必要ですが、5秒の待機時間は多すぎます。また、テクスチャのサイズは実際には512x512である必要がありますが、これにより、待機時間が非常に長くなります。デバイスはiPad、iPodです。 これを速くするチャンスはありますか？オイラー法はゆっくりと収束します（ウィキペディア）–より速い方法があれば、反復回数を減らすことができますか？ 編集： Thomas Klimpelが指摘したように、行：「if（m_An [i] [j] &lt;0.0）{...}」、「if（m_Bn [i] [j] &lt;0.0）{...}」は収束を遅らせています。削除後、75回の反復後に意味のある画像が表示されます。以下のコードの行をコメントアウトしました。 void TuringSystem::solve( int iterations, double CA, double CB ) { m_iterations = iterations; m_CA = CA; m_CB = CB; solveProcess(); } void set_torus( int &amp; x_plus1, int &amp; x_minus1, int x, int size ) { // Wrap "edges" …

10 pde  stiffness 

IVPまたはBVPに解があり、一意であり、境界/初期値に継続的に依存するかどうかを証明するために、数学的分析手法を使用できることを知っています。一部のPDE、特に非線形pdeでは、適切な位置を証明することが不可能ではないにしても非常に困難です。問題が適切であるかどうかを検証するための数値手法はありますか？

10 pde  well-posedness