不規則な境界を持つドメインの有限な差

誰でもポアソンの数値解法（有限差分およびクランク-ニコルソン法）に関する本や、長方形と円の間の領域で構成されるドメイン（特に本またはリンク）などの不規則な幾何学の例を含む拡散方程式に関する本を見つけるのを手伝ってもらえますかこの場合のMATLABコード例で？）

不規則なジオメトリで有限差分スキームを機能させるための鍵は、ドメインの外側、内側、およびドメインの境界上の点を示す値を持つ「形状」マトリックスを持つことです。次のような形状があったとします。

$$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix}$$

真の領域（行列のすべての非ゼロエントリが存在する）は、下向きの三角形を形成します。1は境界上のポイントを表し、2は内部ポイント（通常は不明）を表します。ノード番号は次のように割り当てることができます。

$$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 7 & 8 & 9 & 10 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 11 & 12 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix}$$

ここで、-1は境界位置を表します。次に、マトリックス内のすべてのエントリに対して差分スキームを実行できますが、ifステートメントを使用して、内部ノード（1〜12）でのみスキームを実行します。このアプローチはそれを行う最も効率的な方法ではありませんが、仕事を終わらせます...メモリに余裕があれば、すべての内部ノードの（i、j）エントリを保存して実行するのが良いかもしれませんそれらのノードでのみforループ。

ジオメトリを直接作成するには、次の2つのいずれかを実行できます。1
.白黒画像を手動で作成し、プログラムにインポートします（実装は最も簡単ですが、空間解像度dxまたはdyを調整することはできません）。
2.選択した空間解像度に必要な基本形状の離散表現を作成するコードを作成します（実装は難しくなりますが、空間解像度dxまたはdyの一般的な有限差分スキームではより堅牢になります）。

これを行う方法の詳細については、
NPTELコンピューターグラフィックスコース、ビデオ2（ラスターグラフィックス）
NPTELコンピューターグラフィックスコース、ビデオ3（ラスターグラフィックス、続き）をご覧
ください。これがあなたの質問に当てはまるかどうか教えてください。

私は最初の良い本はHackbuschによる本だと思う：

http://books.google.com/books/about/Elliptic_differential_equations.html?id=-ZPc_JYJFHgC&redir_esc=y

特にch。4.8、「任意のドメインでの離散化」は興味深いかもしれません。その本のドイツ語版は無料で（合法的に）ダウンロードできます。これが英語版にも当てはまるかどうかはわかりません。

次の論文をお勧めします。

任意の不規則なグリッドでの差分法と応用力学への応用-Liszka Orkisz

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0045794980901492

可変グリッドの有限差分手法-Jensen

http://www.mendeley.com/research/finite-difference-techniques-variable-grids-7/

一般化された有限差分法による放物型および双曲線型方程式の解法-Benito Urena Gavete

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S037704270600687X

基本的に、非構造/不規則メッシュに対して有限差分ステンシャルを生成する方法を説明します。私はこの特定のトピックを深く扱っている本を知りませんが、Randall LeVequeの本はそれについて何かがあるかもしれません。ここに著者のウェブページへのリンクがあります。これには、有限差分用のいくつかのMatlab m-ファイルが含まれています。

http://faculty.washington.edu/rjl/booksnotes.html

メッシュを境界に合わせること、したがってfdmの標準の正方形メッシュからの脱却はおそらく解決策であると思いますが、それでも高次アルゴリズムの使用に関して深刻な意味を持ちます-不可能ではないにしても困難です。別のアプローチを採用しました。つまり、曲線境界ジオメトリ上に長方形グリッドを保持し、高次アルゴリズムを作成し、境界から補間してジオメトリの「外側」の値を設定します。それだけです。8次アルゴリズムを使用して、この方法で〜1e-12の同心球テストジオメトリの精度を達成しました。「エドワード、fdm曲線境界」をGoogleで検索すると、私の作品への参照が見つかります。

アダプティブメッシュリファインメントを使用することは可能でしょうか？Googleですばやく検索すると、多くのリンクが表示されます。AMRは、たとえば、複雑な形状を通過する流れをモデル化するために流体力学で使用されます。他の多くのアプリケーションと同様に。星形成で生じる双曲線保存則のシステムを解く例を次に示します。ジオメトリは非常に複雑です。論文の最初の部分は素晴らしいチュートリアルです。 http://www.mpa-garching.mpg.de/lectures/ADSEM/SS05_Homann.pdf

与えられたさまざまな答えから明らかなように、この質問はワームの缶を開きます。これらの多くは有用なポイントを提供しますが、本当に役立つ答えは、提起されていない考慮事項を考慮に入れるでしょう。ジオメトリの正確な性質を具体的にすることとは別に、a）どのような精度が必要ですか？b）通常の正方形メッシュを使用しますか？c）新しいテクノロジーの学習にいくら投資しますか？

規則的な正方形メッシュでは、境界を正確に定義することが難しくなるため、多くの人が適合メッシュに変更します。長方形の接続性を持つ適合メッシュは、非常に不規則な形状への適合が困難であるため、多くの人が非構造化メッシュ（三角形/四面体またはより一般的）を採用しています。

正規のデカルト構造を持たないデータの場合、微分を評価することは困難であるため、多くの人が問題を積分形式で再定式化するため、有限要素/有限体積法（高次を実現できる）につながります。メッシュフリーの方法があります。境界要素メソッドがあります。没入境界法があります。カットセル方式があります。多くの場合、一部のアプリケーションでは一般的ですが、ほとんどは歴史的な理由で他のアプリケーションでは一般的ではない方法があります。

この迷路をナビゲートするのに幸運を祈りますが、あなたの質問に対する万能の解決策はないことを認識しなければなりません。