異方性境界メッシュを使用した非圧縮性の流れに対してどのような空間離散化が機能しますか？

高レイノルズ数の流れは、非常に薄い境界層を生成します。ラージエディシミュレーションで壁の解像度が使用される場合、アスペクト比はオーダーになる場合があります $10^6$ 。inf-sup定数はアスペクト比の平方根またはそれ以下に低下するため、多くの方法はこの体制で不安定になります。inf-sup定数は、線形システムの条件数と離散解の近似特性に影響するため重要です。特に、次の離散誤差ホールドの先験的境界（Brezzi and Fortin 1991）

\begin{aligned} μ ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq C [\frac{μ}{β} inf_{v \in V} ‖ u - v ‖_{H^{1}} + inf_{q \in Q} ‖ p - q ‖_{L^{2}}] \\ ‖ p - p_{h} ‖_{L^{2}} \leq \frac{C}{β} [\frac{μ}{β} inf_{v \in V} ‖ u - v ‖_{H^{1}} + inf_{q \in Q} ‖ p - q ‖_{L^{2}}] \end{aligned}

$\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q\in \mathcal Q} \lVert{p-q}\rVert_{L^2} \right] \end{split}$

ここで、は動的粘度で、はinf-sup定数です。このことから、として、速度および（特に）圧力の近似は、有限要素空間で利用可能な最良のものよりも悪化することがわかります（つまり、Galerkin最適性の定数はおよびとして増加します））。 $\mu$ $\beta$ $\beta \to 0$ $\beta^{-1}$ $\beta^{-2}$

アスペクト比に依存しない均一なinf-sup安定性を持つメソッドは何ですか？

これらのうち、非構造化メッシュで使用できるのはどれですか？

推定値は高次近似にどのように一般化されますか？

— ジェド・ブラウン
ソース

MAC有限差分スキーム（Harlow and Welch 1965）は均一に安定していますが、滑らかな構造化グリッドが必要であり、2次精度のみです。

非構造化および高次の方法には、有限要素法が推奨されます。連続ガラーキン有限要素法の場合、最適な近似特性を持ち、一様に安定している既知の空間はありません。

$Q_k-P_{k-1}^{\mathrm{disc}}$
$Q_k-Q_{k-2}^{\mathrm{disc}}$ $\mathcal{O}\left(k^{\frac{1-d}{2}}\right)$ $k^{-3/2}$
$Q_1-P_0$
AinsworthとCoggins 2000は、やや優れた技術空間を構築しますが、実用性は限られているようです。

不連続なガラーキンの場合、画像は多少良くなります。

$Q_k-Q_{k-1}$ $k^{-3/2}$

— ジェド・ブラウン
ソース