非線形反応項を持つ拡散方程式の可能な数値スキームは何ですか？

いくつかの単純な凸型ドメインのための 2Dで、我々はいくつか持っているU （X ）：下記式を満足 - D IのVを（A ∇ U ）+ C U N = F 特定ディリクレおよび/またはノイマン境界条件を有します。私の知る限り、有限要素空間でニュートンの方法を適用することは、この方程式を数値的に解くための比較的簡単な方法でしょう。$\Omega$$u(x)$

私の質問は次のとおりです。（1）ディリクレ境界条件をゼロと仮定して、この方程式の対応する変分定式化の適切性に関するソボレフ理論はありますか？もしそうなら、どのようなバナッハのスペースを考慮すべきでしょうか？（2）このタイプの方程式の可能な数値的アプローチは何ですか？

私は2つのアプローチを見ています：

1）任意のf（u）。方程式の右辺にf〜f（u0）を配置し、非線形ソルバーを続行します。いずれにしてもヤコビアンがないため、固定小数点スキームが適しています。実装と使用が最も簡単で、最も一般的ですが、パフォーマンスが劣る可能性があります。これは、ヤコビアンを悪用できないためです（一般的には不明です）。

2）f（u）をシリーズに分解（多項式、フーリエ）。実装と使用がより困難であるため、一部の特別なfでは困難/不可能な場合があります。しかし、代わりに、ニュートンのような方法でヤコビアンを計算して活用することができます。これにより、一般的に優れたパフォーマンスが得られます。