熱方程式の最大/最小原理は、クランクニコルソン離散化によって維持されますか？

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クランクニコルソン有限差分スキームを使用して、1D熱方程式を解いています。熱方程式の最大/最小原理（つまり、最大/最小が初期条件または境界で発生する）も離散化された解に当てはまるかどうか疑問に思っています。

これはおそらく、クランクニコルソンが安定した収束型スキームであることによって暗示されています。しかし、Crank-Nicolsonステンシルから作成された行列を使用して、線形代数引数を介してこれを直接証明できる可能性があるようです。

これに関する文献へのポインタをいただければ幸いです。ありがとう。

— foobarbaz
ソース

こんにちはfoobarbaz、そしてscicompへようこそ！私はあなたが解決している問題にソース用語がないと思いますよね？

— ポール

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for timestep and grid spacing場合、Crank-Nicolsonの最大原理が成り立ちます。一般に、の形式の -scheme ここで、は標準のラプラシアン行列で、です。もし、次にスキームが安定しています。（これはフーリエ法で簡単に示すことができます。）ただし、一般に最大原理が成立するためには、というより強い基準が必要です。

μ ≐ \frac{k}{h^{2}} \leq 1

$\mu \doteq \frac{k}{h^2} \leq 1$

k

$k$

h

$h$

θ

$\theta$

{あなた}^{ん + 1} = {あなた}^{ん} + \frac{μ}{2} （ （ 1 - θ ） あ {あなた}^{ん} + θ あ {あなた}^{ん + 1} ）

$u^{n+1} = u^n + \frac{\mu}{2}\left( (1-\theta)Au^n + \theta Au^{n+1}\right)$

A

$A$

0 \leq θ \leq 1

$0 \leq \theta \leq 1$

μ (1 - 2 θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-2\theta) \leq \frac{1}{2}$

μ (1 - θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-\theta) \leq \frac{1}{2}$

証明については、KW Mortonによる偏微分方程式の数値解を参照してください。特に、セクション2.10および2.11と定理2.2をご覧ください。

制約がない場合、最大原理がCrank-Nicolsonに対して一般的に成り立たないことを確認する良い方法もあります。 $\mu$

境界を含む3点を含む離散化を使用して、の熱方程式を考えます。タイムステップとグリッドポイントでの離散化を表すとしましょう。すべてのとなるようにディリクレ境界を仮定します。次に、クランクニコルソンは減少しこれはさらに削減できます $[0,1]$ $u_i^k$ $k$ $i$ $u^k_0 = u^k_2 = 0$ $k$

（ 1 - \frac{μ}{2} （ - 2 ） ） {あなた}_{1}^{ん + 1} = （ 1 + \frac{μ}{2} （ - 2 ） ） {あなた}_{1}^{ん} 、

$\left(1 - \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^{n+1}_1 = \left(1 + \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^n_1,$

{あなた}_{1}^{ん + 1} = （ \frac{1 - μ}{1 + μ} ） {あなた}_{1}^{ん} 。

$u^{n+1}_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)u^n_1.$

我々はの初期条件を検討している場合、我々は持っているそれが常になりますけれどもケースという、我々はそれにもかかわらず持っているだろうという奇数のためない限り、。したがって、ない限り、最大/最小原理に違反します。これは、クランクニコルソンが任意のに対して安定しているという事実に照らして特に注目に値します。 $u_1^0 = 1$

{あなた}_{1}^{ん} = {（ \frac{1 - μ}{1 + μ} ）}^{ん} 、

$u^n_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)^n,$

u_{1}^{n} \leq 1

$u^n_1 \leq 1$

u_{1}^{n} < 0

$u^n_1 < 0$

n

$n$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ

$\mu$

foobarbazの要求に応えて、証明のスケッチを追加しました。

重要なのは、スキームをの形式で記述することです。

\begin{aligned} （ 1 + 2 θ μ ） {あなた}_{j}^{ん + 1} & = θ μ （ {あなた}_{j - 1}^{ん + 1} + {あなた}_{j + 1}^{ん + 1} ） \\ + （ 1 - θ ） μ （ {あなた}_{j - 1}^{ん} + {あなた}_{j + 1}^{ん} ） \\ + [1 - 2 （ 1 - θ ） μ] {あなた}_{j}^{ん} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &= \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j \end{align*}$

という仮説は、上記のすべての係数が非負であるという事実とまったく同じです。 $\mu(1-\theta)\leq \frac{1}{2}$

$u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_{j-1}$ $u^{n+1}_{j+1}$ $u^n_{j-1}$ $u^n_{j+1}$ $u^n_j$ $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_j$ の場合、上記の等式と係数の非負性は、

\begin{aligned} （ 1 + 2 θ μ ） {あなた}_{j}^{ん + 1} & > θ μ （ {あなた}_{j - 1}^{ん + 1} + {あなた}_{j + 1}^{ん + 1} ） \\ + （ 1 - θ ） μ （ {あなた}_{j - 1}^{ん} + {あなた}_{j + 1}^{ん} ） \\ + [1 - 2 （ 1 - θ ） μ] {あなた}_{j}^{ん} \\ = （ 1 + 2 θ μ ） {あなた}_{j}^{ん + 1} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &> \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j\\ &= (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j \end{align*}$

$u^{n+1}_j$ $u$

— ベン
ソース

ありがとう！たまたまモートン以外の参考文献を知っていますか？Googleブックのプレビューでこれらのセクションまたは定理にアクセスできません。証拠を理解したいのですが。

— foobarbaz 2013年

@foobarbaz他に便利なリファレンスはありませんが、証明の概要を追加しました。明確にできるかどうか教えてください。

— ベン

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安定性とは、摂動が時間的に制限されたままであることを意味します。最大の原則が離散レベルで満たされるという意味ではありません。それは別の問題です。離散最大原理を満たすことで十分ですが、安定性には必要ありません。

— クリス
ソース