PDEの強いソリューションと弱いソリューション

強い形式のPDEでは、未知の解が属している必要があります。しかし、弱い形式は、未知の解が属することのみを必要とします。 $H^2$ $H^1$

これをどのように調整しますか？

pde weak-solution

— モハメド・チェダディ
ソース

弱いソリューションのクラスは、強いソリューションのクラスよりも大きくなります（すべての強いソリューションも弱いソリューションですが、すべての弱いソリューションが強いソリューションではありません）。

— クリスチャンクラソン16年

しかし、唯一の解決策があります。

— モハメドチェダディ

すべての（適切な）右側の関数または（適切な）境界条件のセットに対して1つのソリューションがあります。適切なRHSまたはBCのスペースは、強いソリューションよりも弱いソリューションの方が大きくなります。

— ビル・バルト

\begin{matrix} (1) & - Δ u = f \end{matrix}

$-\Delta u = f \tag{1}$

Ω \subset R^{n}

$\Omega\subset \mathbb{R}^n$

\begin{matrix} (2) & u |_{\partial Ω} = 0 \end{matrix}

$u|_{\partial\Omega} = 0 \tag{2}$

\partial Ω

$\partial\Omega$

Ω

$\Omega$

\partial Ω

$\partial\Omega$

C^{\infty}

$C^\infty$

問題は、（純粋に正式な）PDE $(1)$ 解釈方法です。通常、これは微分 $\Delta$ 解釈方法に関して回答されますが、私たちの目的のためには、方程式の解釈方法に焦点を合わせたほうが良いでしょう。

$(1)$ $x\in\Omega$ $f$ $f(x)$ $u$ $u\in C^2(\Omega)$

$u\in C^2(\Omega)$ $(1)$ 境界条件 $(2)$ とともに、点ごとに古典的解法（時々、残念なことに、強い解法とも呼ばれますと呼ばれます。
$f$ $(1)$ $x\in \Omega$ $f\in L^2(\Omega)$ $L^2$ $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ $u$ $(2)$ $\partial \Omega$ $\bar\Omega$

$u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ $(1)$ 。一般に、このようなソリューションが存在し、一意であることを示すことは必要であり、自明ではないことに注意してください（この例の場合）。
$f$ $(1)$ $H^{-1}(\Omega)$ $H^1_0(\Omega)$ $f\in H^{-1}(\Omega)$ $L^2(\Omega)$ $(1)$
$\begin{matrix} (3) & \int_{Ω} \nabla u (x) \cdot \nabla v (x) d x = \int_{Ω} f (x) v (x) d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}$ $\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$
$u\in H^1_0(\Omega)$ $(3)$

$H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$

$(3)$ $u\in H^2(\Omega)$ $f\in L^2(\Omega)$ $H^{-1}(\Omega)$ $n=2$ $H^2(\Omega)$ $C(\bar\Omega)$ $\partial\Omega$
$f\in L^2(\Omega)$
$H^1_0(\Omega)$ $H^2(\Omega)$ 、またはより複雑な非線形方程式。例：http://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/）

— クリスチャン・クラソン
ソース

この答えは本当に役に立ちました。答えの最後の部分への参照を提供できますか？PDEには独自の強力なソリューションがありますが、複数の弱いソリューションが許可されている例をご覧ください。ありがとう！

— 誘導