数値スキームを使用して、初期値または境界値の問題の適切性を判断できますか？

IVPまたはBVPに解があり、一意であり、境界/初期値に継続的に依存するかどうかを証明するために、数学的分析手法を使用できることを知っています。一部のPDE、特に非線形pdeでは、適切な位置を証明することが不可能ではないにしても非常に困難です。問題が適切であるかどうかを検証するための数値手法はありますか？

一般的には違います。数値解は、境界条件が十分であるかどうかを示すための大まかな尺度として、たとえば「浮動」ドメインを特定するために使用できますが、離散解が連続体問題に関するまったく誤解を招く情報を提供する場合が多くあります。

1. 移流拡散では、すべての境界に境界条件が必要ですが、離散システムでは、流出時に境界条件を使用できません（均一なノイマン条件ではなく、境界条件がないことを意味します）。それだけでなく、連続体境界条件の離散表現よりも正確です。詳細については、Papanastasiou、マラマタリス、およびEllwood 1992およびGriffiths 1997を参照してください。同様の境界条件を参照、曲面上のスリップのためにも重要であるベーア2004。

2. 「カルバンクル現象」は、圧縮性流れの特定の方法を悩ませます。それはあまりよく理解されていませんが、一見堅牢な数値スキームは偽のソリューションに収束する可能性があります。ロビネット他からの例。2000年

3. 層流体制内の非圧縮性ナビエ・ストークスへの疑似解。簡単な蓋駆動キャビティの例は、Schreiber and Keller 1983に記載されています。

4. 数値的散逸の非物理的相対サイズを持つ双曲線保存則のシステム。いくつかの数値散逸は常に必要ですが、それ以外の場合、堅牢な（たとえばGodunov）メソッドは、数値散逸が物理的でない場合、体系的に誤った結果に収束する可能性があります。簡単な例がMishra and Spinolo 2011に記載されていますここで、標準のGodunovメソッドは、1D線形化された浅い水の誤った結果に収束します。これは、ラージエディシミュレーションでより深い形で現れます。渦粘性はサブグリッドスケールの物理的な兆候ですが、（回避できない）数値の散逸が物理的な散逸よりも大きい場合、シミュレーションは系統的に不正確な結果に収束する可能性があります。実際には、渦粘性のサブグリッドクロージャは非常に重要です。これは、正しい（物理的な）パスに沿って特異な限界をとることの問題です。

5. 非圧縮性流れの弾性モードまたはチェッカーボードモードでのロック効果。これらは不安定な近似空間を選択したことが原因であり、少なくとも線形問題については現在非常によく理解されていますが、適切な配置を推論するための数値解に依存すると、非圧縮性の制限が不適切であると結論付ける可能性があります。