ドリフト拡散および関連モデルのPDEソルバー

ドリフト拡散モデルから始めて、教育目的で基本的な半導体モデルをシミュレートしようとしています。既製の半導体シミュレーターは使いたくありませんが、他の（一般的な、最近の、または曖昧な）モデルを学習しますが、既製のPDEソルバーを使用したいと思います。

しかし、単純な1Dの場合でも、ドリフト拡散モデルはいくつかの結合した非線形PDEで構成されています。

電流密度方程式

J_{n} = q n （ バツ ） μ_{n} E （ バツ ） + q D_{n} \nabla n

$J_n = q n(x) \mu_n E(x) + qD_n \nabla n$

J_{p} = q p （ バツ ） μ_{p} E （ バツ ） + q D_{p} \nabla p

$J_p = q p(x) \mu_p E(x) + qD_p \nabla p$

連続の式

\frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_{n} + {うん}_{n}

$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_n + U_n$

\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_{p} + {うん}_{p}

$\frac{\partial{p}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_p + U_p$

ポアソン方程式

\nabla \cdot (ϵ \nabla V) = - (p - n + N_{D}^{+} - N_{A}^{-} ）

$\nabla \cdot (\epsilon \nabla V) = -(p - n + N_D^+ - N_A^-)$

およびいくつかの境界条件。

いくつかのpython FEMソルバー、FEniCS / DolfinおよびSfePyを試しました。試しましたが、テスト関数で弱い変分形式で定式化できないため、運がありません。

もちろん、最初から数値解法を実装するオプションもありますが、FEM /数値の詳細な調査はまだ行っていないため、数値の問題に圧倒されたくないので、それが唯一のオプションではないことを願っています。

だから、これらの方程式をその形式で取り、それらを解決するパッケージ（オープンソース）がありますか？あるいは、ツールに必要な変分形式はそれほど難しくないのでしょうか？いずれにせよ、私のオプションは何ですか？

ありがとう

編集：FEniCS / DolfinまたはSfePyの弱い変分形式の定式化の試み

$u_V$ ）は簡単です。しかし、連続方程式には困難があります。

\frac{\partial n}{\partial t} = \nabla \cdot (C_{1} n \nabla V + C_{2} \nabla n) + U

$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \nabla \cdot (C_1 n \nabla V +C_2\nabla n) + U$

C_{1}, C_{2}

$C_1, C_2$

U, n, p, V

$U, n, p, V$

$f_n$

\int_{Ω} f_{n} \frac{n - n_{1}}{Δ t} d Ω - C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω - C_{2} \int_{Ω} f_{n} \nabla^{2} n d Ω - \int_{Ω} f_{n} U d Ω

$\int_{\Omega}f_n\frac{n - n_1}{\Delta t}d\Omega - C_1 \int_{\Omega}f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega - C_2 \int_{\Omega}f_n \nabla^2 n d\Omega - \int_{\Omega}f_n U d\Omega$

C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω

$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega$

$\mathbf{\nabla V}$ $V, u_n, n$ $\nabla \cdot \phi \mathbf{A} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla \phi} + \phi \nabla \cdot \mathbf{A}$

C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω = C_{1} \int_{Ω} f_{n} (\nabla V \cdot \nabla n) + C_{1} \int_{Ω} f_{n} n \nabla \cdot \nabla V

$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega = C_1 \int_{\Omega} f_n (\nabla V \cdot \nabla n) + C_1 \int_{\Omega} f_n n \nabla \cdot \nabla V$

Vはポアソン方程式によって解かれるので、ソフトウェアDolfin / FEniCSで許可されているように最近計算された値を使用し、この2番目の結合方程式でVを扱う方法を簡略化できますか？これらの種類の手法は、離散化中に機能します（たとえば、Gummelなど）。これらの既製のソルバーでは実行しません。

$J_n$ $n$ $J_n, J_p, n, p, V$ $J_n$

pde

— ウィアム
ソース

なぜあなたは彼らの弱い形を書き留められないのですか？

— ビルバース

@BillBarth質問を編集しました。ご覧ください。ありがとう。

— ウィアム

部品による統合が間違っています。式を確認してください。兆候がありません。左側よりも右側に多くの導関数があり、境界積分を忘れていました。

— ヴォルフガングバンガース

また、乗算を表すためにドット積を使用している理由はありますか

u_{n}

$u_n$ ？スカラーですよね？

— ビルバース

はい、私はもっと慎重にすべきだった。私の編集、特に以前のPDEですでに解決されていたはずのVの扱いに関する質問を確認してください。これは変分形式に影響を及ぼしますか？ありがとうございました。

— ウィアム

Scharfetter-Gummel（SG）定式化は、一般に電流密度方程式を解くために使用されます。これは、電位と電流密度の間の非線形依存性を解決する際の困難を克服する特別な定式化です。

ボックス積分法を使用したこれらの方程式が本書にどのように記載されているかを説明する標準テキスト：Selberherr、S.、半導体デバイスの分析とシミュレーション。スプリンガー出版1984

このタイプのシミュレーションは、Technology Computer Aided Design（TCAD）と呼ばれます。有限要素法（FEM）とは対照的に、有限体積法（FVM）は電流の計算に使用されます。これは、現在の密度方程式を解くときに機能することが示されている（この方法の実践者によって）SGの定式化に適合するためです。

一般化されたPDEを使用してこれを解決する場合、COMSOLには、ハイブリッドFEM / FVMメソッドを使用してこの問題を解決する半導体モジュールがあります。

さらに、商用およびオープンソースのTCADシミュレーターは、http：//www.tcadcentral.comにリストされています。

私の知る限り、汎用PDE TCADソルバーはDEVSIM、FLOOPS、PROPHETです。商用ツールでは、ほとんどの物理方程式がC ++などのコンパイルされた言語でハードコーディングされている傾向があります。

— ファン
ソース

非常に遅い返信をおforびします。このようなDDの直接適用は（SGを使用しても）非常に不安定である（少なくともFenicsでの私の実装）ことに気づいたため、それを放棄しました。後のVLSIコースでは、実際にComsolおよびTCADツールを使用しました。包括的な回答ありがとうございます。

— ウィアム