明示的なオイラー法は反応拡散問題には遅すぎる

私は次のC ++コードでチューリングの反応拡散システムを解決しています。これは遅すぎます。128x128ピクセルのテクスチャの場合、許容可能な反復数は200です。これにより、2.5秒の遅延が発生します。興味深い画像を取得するには400回の反復が必要ですが、5秒の待機時間は多すぎます。また、テクスチャのサイズは実際には512x512である必要がありますが、これにより、待機時間が非常に長くなります。デバイスはiPad、iPodです。

これを速くするチャンスはありますか？オイラー法はゆっくりと収束します（ウィキペディア）–より速い方法があれば、反復回数を減らすことができますか？

編集： Thomas Klimpelが指摘したように、行：「if（m_An [i] [j] <0.0）{...}」、「if（m_Bn [i] [j] <0.0）{...}」は収束を遅らせています。削除後、75回の反復後に意味のある画像が表示されます。以下のコードの行をコメントアウトしました。

void TuringSystem::solve( int iterations, double CA, double CB ) {
    m_iterations = iterations;
    m_CA = CA;
    m_CB = CB;

    solveProcess();
}

void set_torus( int & x_plus1, int & x_minus1, int x, int size ) {
    // Wrap "edges"
    x_plus1 = x+1;
    x_minus1 = x-1;
    if( x == size - 1 ) { x_plus1 = 0; }
    if( x == 0 ) { x_minus1 = size - 1; }
}

void TuringSystem::solveProcess() {
    int n, i, j, i_add1, i_sub1, j_add1, j_sub1;
    double DiA, ReA, DiB, ReB;

    // uses Euler's method to solve the diff eqns
    for( n=0; n < m_iterations; ++n ) {
        for( i=0; i < m_height; ++i ) {
            set_torus(i_add1, i_sub1, i, m_height);

            for( j=0; j < m_width; ++j ) {
                set_torus(j_add1, j_sub1, j, m_width);

                // Component A
                DiA = m_CA * ( m_Ao[i_add1][j] - 2.0 * m_Ao[i][j] + m_Ao[i_sub1][j]   +   m_Ao[i][j_add1] - 2.0 * m_Ao[i][j] + m_Ao[i][j_sub1] );
                ReA = m_Ao[i][j] * m_Bo[i][j] - m_Ao[i][j] - 12.0;
                m_An[i][j] = m_Ao[i][j] + 0.01 * (ReA + DiA);
                // if( m_An[i][j] < 0.0 ) { m_An[i][j] = 0.0; }

                // Component B
                DiB = m_CB * ( m_Bo[i_add1][j] - 2.0 * m_Bo[i][j] + m_Bo[i_sub1][j]   +   m_Bo[i][j_add1] - 2.0 * m_Bo[i][j] + m_Bo[i][j_sub1] );
                ReB = 16.0 - m_Ao[i][j] * m_Bo[i][j];
                m_Bn[i][j] = m_Bo[i][j] + 0.01 * (ReB + DiB);
                // if( m_Bn[i][j] < 0.0 ) { m_Bn[i][j]=0.0; }
            }
        }

        // Swap Ao for An, Bo for Bn
        swapBuffers();
    }
}

グリッドを調整すると拡散が硬くなるため、安定性によって制限されているようです。スティッフなシステムに適した方法は、少なくとも部分的に暗黙的です。多少の労力はかかりますが、シンプルなマルチグリッドアルゴリズムを実装して（またはライブラリを使用して）10未満の「作業単位」（基本的にはタイムステップの1つ）のコストでこのシステムを解くことができます。グリッドを調整しても、反復回数は増えません。

実用的な観点から：A5プロセッサはそれほど強力ではないため、数回のハードウェア反復を待つことができます。または、iPod / iPadがインターネットに接続される場合は、リモートまたはクラウドで問題を解決します。

オイラーは他の方法と比較してゆっくりと収束しますが、それはあなたが興味を持っていることではないと思います。「興味深い」画像を探しているだけの場合は、タイムステップのサイズを大きくし、反復回数を減らします。Jedが指摘しているように、問題は、明示的なオイラー法には、グリッドサイズに関連して大きなタイムステップでの安定性の問題があることです。グリッドが小さいほど（つまり、画像の解像度が高いほど）、それを考慮するためのタイムステップは小さくなければなりません。

たとえば、明示的ではなく暗黙的なオイラーを使用すると、収束の次数を得ることはできませんが、解は無条件の安定性を持ち、はるかに大きな時間ステップが可能になります。暗黙的なメソッドの実装はより複雑で、時間ステップあたりの計算量も多くなりますが、合計ステップ数を少なくすることで、それ以上のメリットが得られるはずです。