有限差分法を使用するときに曲線境界条件を処理する方法は？

私は自分でPDEを数値的に解くことについて学ぼうとしています。

FDMはPDEの多くの数値的手法の基礎であると聞いたので、私はしばらくの間、差分法（FDM）から始めました。これまでのところ、FDMの基本的な理解があり、ライブラリとインターネットで見つけた資料を使用して、通常の地域にある簡単なPDEのコードを書くことができましたが、奇妙なことに、これらの資料はほとんど話せませんこのような不規則な、湾曲した、奇妙な境界の処理について。

さらに、曲線の境界に対処する簡単な方法を見たことはありません。たとえば、これまで見てきた最も詳細な議論（主にp71の3.4およびp199の6.4 ）を含む書籍「偏微分方程式の数値解法-はじめに（Morton K.、Mayers D）」は、私にとって本当に面倒でイライラする外挿。

それで、タイトルが尋ねたように、湾曲した境界に関して、FDMを使用するとき、通常人々はそれをどのように扱いますか？言い換えれば、最も一般的な治療法は何ですか？それともPDEのタイプに依存しますか？

（少なくとも比較的）エレガントで高精度の曲線境界に対処する方法はありますか？または、それは避けられない痛みですか？

私も尋ねたいのですが、人々は実際に湾曲した境界に実際にFDMを使用していますか？そうでない場合、一般的な方法は何ですか？

任意の助けをいただければ幸いです。

pde finite-difference boundary-conditions

— xzczd
ソース

回答:

あなたの最後の質問に最初に答えると、人々は実際に曲線境界に実際にFDMを使用していますか？私は答えがノーだと思います。商用CFDの世界では、2次精度の有限体積スキームが事実上の業界標準です。FDに対するFV（およびJedが言及した有限要素/不連続ガラーキンアプローチ）の利点の1つは、複雑な境界のはるかに自然な処理です。FDは多くの数値手法（FVを含む）の基礎を提供し、最初のステップとして学習する必要がありますが、大規模で複雑な問題にはお勧めできません。

$(x,y)$ $\xi = \xi(x,y),\eta = \eta(x,y)$ $\Delta \xi = \Delta \eta = constant$ 。その後、次のような用語を書き直すことができます

\frac{\partial あなたは}{\partial バツ} = \frac{\partial あなたは}{\partial ξ} \frac{\partial ξ}{\partial バツ} + \frac{\partial あなたは}{\partial η} \frac{\partial η}{\partial バツ}

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x}$

$\frac{\partial (\xi,\eta)}{\partial (x,y)}$ $u$

この身体にフィットしたグリッドアプローチは、FDの曲線境界を処理するための「最も一般的な処理」であり、FDメソッド自体は複雑なアプリケーションではもはや「人気」ではないという警告があります。非常に単純なドメインを除いて、それらがCFDの文献でまだ出てくるのはまれです。

— アウレリウス
ソース

「答えはノーだと思います」という発言は正しくありません。VisbalとGaitondeは、FDL3DIコードの高次FDで広範囲に機能します。また、NASAのOVERFLOWコードはFDコードです（私の知る限り/知る限り）。

— ブライアンザタパティーク

OVERFLOWはもともと純粋にFDでしたが、現在では一般的にFVフラックススプリッティング（リンクのCh 1でAUSM、HLLCなど）を使用しています。これは間違いなく「レガシー」コードでもあります。そのFDL3DIリンクは、90年代の高次有限要素/ DGベースの作業がまだ始まったばかりで、実証可能な実行可能な高次精度の有限ボリュームスキームがなかった作業からのものです。2013年に誰かにその作品のコンパクトな差分戦略に基づいてコードの開発を開始するよう説得するのは難しいと思います。エレガントでありながら、アプリケーションには非常に制限があります。

— アウレリウス

大規模で複雑な問題にFDを使用することはお勧めできないというあなたの声明の一般性に、私は少し反対します。今日、HPCの人々は、ステンシルのような方法で有限要素スキームを作り直し、（半）構造化グリッドを使用して、極端なスケールコンピューティングのためのマトリックスフリーソルバーを効率的に実装する傾向があります。このように、流行と同じように、人々はまだ実際には有限の違いを使いたがっています。言うまでもなく、構造化されたメッシュを回避できるアプリケーションがあります。ただし、複雑なジオメトリの場合、標準FDは苦痛であり、おそらくそれがあなたの言いたいことです。

— クリスチャンワルガ

単純な曲線形状の場合、高次FDは、効率ベース（精度/時間）で高次スペクトル差/体積、フラックス再構成、またはDGメソッドよりも優れています。複雑なものの場合、グリッド生成は別のアプローチを試すのに十分な頭痛の種かもしれません。上記の方法の非常に大きな柔軟性にはかなりのコストがかかることを忘れてはなりません。Loehnerによるこの論文を参照してください。これが、FDL3DIとOVERFLOWが依然として使用されている理由の1つです。

— ブライアンザタパティーク

@ChristianWalugaはい、それは基本的に私が述べようとしていたことです。明らかにFDのアイデアは他のアプリケーション（有限差分によって計算されるFVの勾配など）に道を見出し、使用している単純なジオメトリ上のDNSのような特定の領域で見られます。しかし、汎用コードの場合、過去20年間の傾向は、純粋なFDとはまったく異なります。

— アウレリウス

曲線の境界は、ほとんどのCFDの本、たとえば、WesselingのChapter 11またはFerziger and PericのChapter 8でカバーされています。

基本的な理論上の問題ではありませんが、曲線境界での高次法の境界条件の実装の実際的な複雑さは、有限要素法（不連続ガラーキンを含む）などのより幾何学的に柔軟な方法に関心を持つ重要な理由です。構造化された有限差分と有限ボリュームグリッドは一部のCFDシミュレーションでまだ使用されていますが、非構造化手法が人気を集めており、高次の非構造化手法で使用されるローカル操作は実際には非常に効率的であるため、同様のFDと比較して効率の大幅な低下はありませんメソッド。（実際、幾何学的な柔軟性はしばしばそれらをより効率的にします。）

— ジェド・ブラウン
ソース

素晴らしい答えジェド。私の論文 p38-46で見つかった流体の問題で不規則なBCを治療する方法の非常に段階的なウォークスルーがあります。率直に言って、FDフォーミュレーションでこれを行うことは、A *＃の大きな痛みです。考慮すべき重要な洞察は、湾曲したBCを多数の極小の直線で近似できることです。

— meawoppl

私は過去n年間、高精度fdmに取り組んできました。また、高精度アルゴリズムを明示的に開発するための例として、静電気-2 dim laplaceの方程式を使用しました。約4年前まで、問題は潜在的な不連続点の水平線または垂直線で構成されていました。私の名前とfdmを高精度でグーグルで検索すると、参照が見つかるはずです。しかし、これはあなたの質問ではありません。あなたの質問はfdmと曲線境界です。約1年前に、香港で注文8のソリューションを発表しました（曲線境界をもつ円筒対称静電学の有限差分法を参照してください））境界に近い内部ポイントに対して次数8のアルゴリズムを作成しましたが、これらはもちろん境界の反対側にポイントを必要とします。境界の反対側のポイントは、単にメッシュを反対側に延長することによってそこに置かれました。これを行った後の質問は、メッシュを緩和するときにこれらのポイントの値をどのように見つけるかでした。これは、アルゴリズムを使用して境界（既知の可能性）からポイントまでを統合することで達成されました。それは合理的に成功し、合理的に正確な〜1e-11未満でしたが、それぞれ個別に作成された103個のアルゴリズムが必要であり、やや脆弱で不安定なジオメトリが見つかりました。上記の問題を解決するために、（1つ！）最小のアルゴリズムを使用して解決策が見つかり（8次以下）、解決策はかなりの堅牢性を示します。それは提出されましたが、私に電子メールを送ることによってプレプリントとして利用できるでしょう。この手法は、ラプラス以外の時間に依存しないpde（線形が必要）および2を超える次元に拡張可能であると考えています。デビッド

— デビッド
ソース

論文をプレプリントサーバー（たとえばarXivなど）に送信し、ここにリンクできる場合、回答が改善されます。一般的に、回答には電子メールアドレスを含めないでください。また、回答をより簡潔にすることをお勧めします。

— ジェフオックスベリー