固有値問題の検証

フォームの問題から始めましょう

(L + k^{2}) u = 0

$(\mathcal{L} + k^2) u=0$

与えられた境界条件のセット（Dirichlet、Neumann、Robin、Periodic、Bloch-Periodic）。これは、いくつかの幾何学および境界条件の下で、ある演算子の固有値と固有ベクトルを見つけることに対応し $\mathcal{L}$ ます。たとえば、音響学、電磁気学、弾性力学、量子力学でこのような問題を得ることができます。

さまざまな方法、たとえば、有限差分法を使用して演算子を離散化できることを知っています

[A] {U} = k^{2} {U}

$[A]\{U\} = k^2 \{U\}$

または、有限要素法を使用して取得する

[K] {U} = k^{2} [M] {U} .

$[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace .$

あるケースでは、固有値問題と一般化された固有値問題を別のケースで取得します。問題の離散バージョンを取得した後、固有値問題のソルバーを使用します。

いくつかの考え

Manufactured Solutionsの方法は、方程式のバランスをとるためのソース用語がないため、この場合は役に立ちません。
行列およびが、ソースタームの周波数領域の問題を使用してうまくキャプチャされていることを検証できます。たとえば、 $[K]$ $[M]$

$[\nabla^{2} + ω^{2} / c^{2}] u (ω) = f (ω), \forall ω \in [ω_{min}, ω_{max}]$ $[\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max]$
の代わりに

$[\nabla^{2} + k^{2}] u = 0 .$ $[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace .$
しかし、これはソルバーの問題をチェックしません。
たぶん、FEMやFDMなどの異なる方法のソリューションを比較できます。

質問

固有値問題のFEMやFDMなどの数値的手法による離散化スキームの解（固有値と固有ベクトルのペア）を検証する方法は何ですか？

— ニコグアロ
ソース

結果を既知のケース（正方形、立方体、円、球）のスペクトルと比較できますか？（これらのレートは、周波数に応じて変化する傾向があるけれども-を参照して、適切な規範で固有ベクトルと固有値のためにも期待収束率は、あなたがチェックできることがありますjournals.cambridge.org/action/...を）

— ジェシーちゃん

はい、分析ソリューションと比較できます。ただし、通常は非常に単純な場合に提供されます。問題は、検証プロセスの実行方法についてです。方法に類似した何かがある場合は、ソリューションを製造しました。または、分析ソリューションで他の問題にこの方法を組み合わせる必要がある場合。

— ニコグアロ

1つの次元で、目的の

で始まり、

である場合、そのような

が存在する場合、

を分解することができますで実行

。これは、

の対称性と他のプロパティを台無しにする可能性があると思います。ここで

と

k, v

$k,v$

(L + k^{2}) v = w \neq 0

$(\mathcal{L}+k^2)v = w \neq0$

w = f v + g v^{'}

$w = fv+gv'$

f, g

$f,g$

L^{'} = L - f - g \partial

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-f-g\partial$

L

$\mathcal{L}$

v

$v$

v^{'}

$v'$ 線形独立である必要があり、同じポイントで消えることはできません。

— キリル

@JesseChan、提案された読書に感謝します。時間がかかりましたが、読みました。私は彼らが望ましい目的のために十分な情報を提供するとは思わない。

— ニコグアロ

私はあなたを正しく理解していることを確認したいです。離散演算子（行列または行列）の計算された固有ペアと、平滑演算子の対応する固有ペアとの間の距離を推定する方法を知りたいですか？それとも、離散固有値問題を解いた精度をどのように推定するのでしょうか？

— カールクリスチャン

私はこの質問が古いことを知っていますが、私はそれを見たばかりで面白いと感じました。過去に、私はこの質問のコメントで見つかった提案に従い、私が文献でよく知っている若干複雑なケースを組み合わせました（Orr--Sommerfeldは常に便利です）。

ただし、製造されたソリューションを構築するときに生じる不均一な固有値の問題に関する文献もいくつかあります。このような問題については、DOI：10.1016で説明しています。これらの著者はまた、この問題を完全に回避するために、いわゆる製造断面法（MXS、私が推測する）を提案しています。これは現時点では理解するふりをしませんが、非常に有用です。

— スペンサー・ブリンゲルソン
ソース

彼らが「不均一固有値問題」として提案しているのは、私が最初の投稿で提案したアプローチです。しかし、私はまだ製造された断面の方法を理解しようとしています。

— ニコグアロ

そのような問題に関する文献がいくつか存在することを示唆しているので、あなたが示唆したように行き止まりではないかもしれないことを認識しています。

— スペンサーブリンゲルソン

あなたの投稿に対する批判ではありません。まったく逆です！議論を促進するために参照を読んだ後に見つけたものにコメントしているだけです。

— ニコグアロ

2次導関数（および単純領域のラプラシアン）の場合、離散固有ペアの表現（つまり、離散化後）が利用可能です。たとえば、有限差分の場合、固有ペアはここにリストされます。

有限要素離散化による固有ペアの式は、同様に見つけることができます（P1およびP2離散化の場合）。

— user7440
ソース