模倣有限差分法の実例

インターネットで簡潔な説明を見つけようとする限り、模倣の有限差分の概念や、標準の有限差分との関係を把握することはできません。古典的な線形PDE（双曲線、楕円、および放物線）に対してそれらがどのように実装されるかの簡単な例を見ると、本当に役立ちます。

それがあなたの望む答えであるかどうかはわかりませんが、誰も答えていないので、貯水池シミュレーションの圧力方程式に模倣ソルバーを使用するGPLのMATLAB Reservoir Toolboxに言及できます。この式、として見て 、典型的な楕円形のテスト方程式に帰着 ΔP=0、一定の透過性/粘度比のために（ポアソン）、あなたはおそらくMRSTソルバーをある程度理解アウトを得ることができます。MRSTは、さまざまな模倣方法を使用して完全に非構造化されたグリッドをサポートします。ここでの模倣とは、質量バランス式の設定に必要な内積の模倣を指します。これを理解するために、貯水池シミュレーションの理解はおそらく必要ないでしょう。

良い例がここで説明されています。含まれている例では、MATLABのブロックスクリプト機能を使用しています。ここでは、shift-enterを使用して、ステップをステップスルーし、各ステップでデータを検査できます。

関連記事はこちらにあります。最初の論文では、模倣内積の定式化を行っているため、コードを読み進めることができます。MATLABをお持ちでない場合、または言語に不慣れな場合、これはおそらくあまり役​​に立ちませんが、単純な例はOctaveと互換性があるはずです。

いくつかの詳細を説明する修士論文「PEBIグリッドの模倣と2点フラックス近似スキームの比較」があり、特にセクション7.3は手作業で小さな例を示しています。

$\nabla\cdot$$\nabla$$\nabla\times$

離散計算の構築は2つのステップで進行します。最初に、素数演算子と呼ばれる基本演算子の1つに離散形式を選択します。次に、維持することを選択した微分および積分アイデンティティのサブセットに基づいて、派生演算子と呼ばれる他の基本的な演算子を構築します。素数演算子の選択は、アプリケーションと離散化に依存します。ある意味で、素数演算子は派生演算子の構築を「サポート」します。保存則、解の対称性、微分演算子間の随伴関係は、離散演算子に模倣したいプロパティの例です。

たとえば、模倣離散化が模倣する線形拡散方程式のSOM離散化

1. 地元の保全法を施行するガウス・グリーン定理
2. $-\textbf{K}\nabla = (\nabla\,\cdot)^{*}$
3. 離散発散と離散フラックスの積の対称性と陽性を保証
4. 離散フラックス演算子のヌル空間は定数関数です。

拡散方程式の模倣的離散化の詳細は、1Dまたは2Dで入手できます。

ジェロームボネルの論文は、彼のウェブサイトまたは直接こちらで入手できます。私は彼の2章から4章が非常に読みやすく、いい紹介をすることがわかりました。彼はまた、2つの例、1つの楕円PDEとストークス方程式についても語っています。