多くの次元のPDE

PDEの近似解を見つけるためのほとんどの方法は、次元の数に応じてスケーリングが不十分であり、モンテカルロは100次元以下を必要とする状況に使用されることを知っています。

〜4-10次元のPDEを効率的に数値的に解くための良い方法は何ですか？10-100？

次元の数に応じて適切にスケーリングするモンテカルロ以外の方法はありますか？

複数の次元で基底または求積法（多くの場合MCに置き換わることがあります）を提供するより構造化された方法は、スパースグリッドの方法です。これは、さまざまな順序の1次元ルールのいくつかのファミリを、単に指数関数的に成長するように組み合わせます次元は、次元が解像度N dの指数であることではありません。$2^d$$N^d$

これは、一連の1次元ルールを$Q^1_l$

$Q^d_n = \displaystyle\sum^{n}_{l}(Q^{1}_i - Q^{1}_{i-1})\otimes Q^{d-1}_{m-i+1}$

これは、空間から高い混合次数が削除されたテンソル積求積空間に相当します。これを十分に厳しい方法で行うと、複雑さが大幅に改善される場合があります。ただし、これを実行して適切な近似を維持できるようにするには、解の規則性が十分に消滅する混合微分を持たなければなりません。

構成空間でのシュレディンガー方程式やその他の 高次元のもののようなもののために、グリーベルグループによってまばらなグリッドが打ち負かされ、かなり良い結果が得られました。アプリケーションでは、ネストできる限り、使用される基本関数はかなり一般的です。たとえば、平面波または階層ベースが一般的です。

自分でコーディングするのも簡単です。しかし、私の経験から、実際にこれらの問題を解決することは非常に困難です。良いチュートリアルがあります。

解が急速に消滅する派生物を特徴とする特殊なソボレフ空間に存在する問題の場合、スパースグリッドアプローチはさらに大きな結果をもたらす可能性があります。

Acta Numericaのレビューペーパー、高次元のパラメトリックおよび確率PDEのスパーステンソル離散化も参照してください。

一般的なルールとして、通常のグリッドが3次元または4次元の問題をはるかに超えることができない理由を理解するのは簡単です。全体的なポイント。1dの比較的良い関数であっても、それらを解決するために少なくともN = 10のグリッドポイントが必要です。したがって、ポイントの総数は10 ^ dになります。 = 9であり、おそらくこれ以上大きくなることはありません。ソリューション関数に特定のプロパティがある場合、スパースグリッドは状況によって役立ちますが、一般に、次元の呪いの結果に耐え、MCMCメソッドを使用する必要があります。

$d=4,...,100$$d=100,101,...\infty$