圧縮性オイラー方程式を解くための可能な方法は何ですか

圧縮可能なオイラー方程式用の独自のソルバーを作成したいと思います。最も重要なことは、すべての状況でロバストに動作することです。FEベースにしたいと思います（DGは大丈夫です）。可能な方法は何ですか？

私は0次DG（有限量）を行うことを認識しており、非常に堅牢に動作するはずです。基本的なFVMソルバーを実装しましたが、うまく機能しますが、収束が非常に遅くなります。ただし、これは間違いなく1つのオプションです。

線形化されたオイラー方程式のFEソルバー（任意のメッシュと任意の要素の任意の多項式次数で動作します）を実装しましたが、スプリアス振動を取得しています（そして最終的には吹き飛ばされるので、使用できませんので問題を解決します）。私はそれを安定させる必要があることを文献で読みました。何らかの安定化を実装すると、すべての問題（境界条件と形状）に対して安定して機能しますか？収束率はいくらですか？

それ以外に、オイラー方程式の他の堅牢な方法論がありますか（つまり、安定化を伴う高次DG）。

多くの人が自分の研究コードでさまざまなことを試したことを知っていますが、すべてのジオメトリと境界条件で機能する堅牢な方法に興味があります（編集：2Dおよび3D）。

オイラー方程式（圧縮性非粘性流の場合）のような双曲線PDEの非線形1次システムを解く際の主な数値的困難は、初期データが滑らかであっても、有限時間後に解（不連続性）が現れることです。これに対処するために、最新のコードのほとんどは両方を使用します

• スロープ（またはフラックス）リミッター。これは、スプリアス振動を発生させることなく、不連続部の近くで導関数を正確に計算する方法を提供します。そして
• 近似リーマンソルバー。局所的に（各グリッドエッジ/面で）、区分的に一定の初期データと単一の不連続性で初期値問題を解きます。

リミッターとリーマンソルバーを組み込んだ有限差分（FD）、有限体積（FV）、および有限要素（FE）の離散化が存在し、すべては少なくとも衝撃から離れて非常に正確に行うことができます。したがって、FEメソッドはFVメソッドよりも速く収束すると断定的に言うことは意味がありません。比較可能な次数の離散化が使用される場合、それらは比較可能になります。

FEメソッドの中で、解は実際には不連続になるため、不連続Galerkinメソッドが最も適しています。独自に実装したい場合は、このレビューペーパーを読んで、基本を理解するためにHesthaven＆Warburtonのテキストのコピーを入手することをお勧めします。それから圧縮性の流れに関するDGに関する論文がたくさんあります。

他の人のコードを使用したい場合、Pythonを使用していることを知っているので、Pythonインターフェイスを持ち、GPUで実行できるAndreas KloecknerのHedgeコードをご覧ください。おそらく、他の優れたDGコードと、多くの優れたFVコード（Pythonインターフェイスを備えたClawpackなど）があります。

スペクトル差などの新しい高次メソッドもあります。最近の展望については、Cheng＆Shu 2009、High Order Schemes for CFD：A ReviewまたはEkaterinaris 2005、Aeroordersの高精度で低数値の拡散法を参照してください。