差分法のフォンノイマン安定性解析の代替

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私は、結合された1次元多孔質弾性方程式（biotのモデル）の解決に取り組んでいます。

- (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0

$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$

ドメイン上で

と境界条件：

\frac{\partial}{\partial t} [γ p + \frac{\partial あなたは}{\partial バツ}] - \frac{κ}{η} [\frac{\partial^{2} p}{\partial {バツ}^{2}}] = q （ バツ 、 t ）

$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$

Ω = (0, 1)

$\Omega=(0,1)$

でと $p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$ $x=0$ で。 $u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$ $x=1$

中心有限差分スキームを使用して、これらの方程式を離散化しました。

(λ + 2 μ) \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - 2 u_{i}^{t + 1} + u_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}} + \frac{p_{i + 1}^{t + 1} - p_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x} = 0

$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$

γ \frac{p_{i}^{t + 1} - p_{i}^{t}}{Δ t} + \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - u_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x Δ t} - [\frac{u_{i + 1}^{t} - u_{i - 1}^{t}}{2 Δ x Δ t}] - \frac{κ}{η} [\frac{p_{i + 1}^{t + 1} - 2 p_{i}^{t + 1} + p_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}}] = q_{i}^{t + 1}

$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$

現在、一貫性と安定性を分析することにより、スキームの収束の詳細を検討しています。一貫性の部分は私にはかなり簡単なように思えますが、安定性解析にはいくつかの困難があることをすでに予測しています。まず、2つの変数と2つの方程式があります。第二に、2番目の方程式には混合時空微分項もあります。私はフォン・ノイマンの安定性解析に精通しており、この方法で安定性を確立することは非常に難しいことがわかります。使用できるフォンノイマン解析の代替手段はありますか？

— ポール
ソース

1

連立方程式を使用して分析を行うことに不安がある場合は、最初の方程式を

に関して、2番目の方程式を

に関して区別してください。次に、混合偏微分の等式を使用して

を削除します。

t

$t$

x

$x$

u

$u$

— デビッドケッチャソン

@DavidKetcheson：興味深い。本質的に、あなたはシステムを単一の変数に縮小し、

に対する一般性を失うことなく

標準フォンノイマン解析を実行できることを示唆していますか？

p

$p$

u

$u$

— ポール

システムとして記述してもスカラーPDEとして記述しても、同じ問題です。

— デビッドケッチャソン

7

あなたは、少なくともあなたの分析のため、置き換えた場合、で、次のようにシステムを書くことができます $\frac{\partial u}{\partial x}$ $u_x$ すべての定数が設定され、添え字が

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ I & I \end{matrix}] \frac{d}{d t} [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ - Δ_{h} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{h} (t) \\ 0 \end{matrix}] (*)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$

1

$1$

は、変数と微分演算子の両方の空間離散化を指します。スキームは、

を近似することによって取得されます

_{h}

${}_h$

暗黙のオイラーによる

。

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$

微分代数（DAE）構造が明らかになりました。変数には、微分（時間）方程式と代数方程式の両方があります。

あなたがいることを示すことができた場合は、参照可逆でこのプレプリント[p。3]および以下の編集では、DAEはインデックス1またはストレンジネスフリーであり、暗黙のオイラーは収束性であることが知られています。この本の定理5.12を参照してください。（免責事項：この本は自由に利用できず、博士号の監督者によって書かれています） $\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

このアプローチを使用すると、安定性解析を回避できます。

$L^2$ $(*)$ $\Delta_h$ $\partial_h$

$(*)$ $u\leftarrow u_x$

APPENDIX: A DAE is said to be index 1, if it can be transformed into an ODE without differentiating the equations.

たとえば、DAEの形式は

[\begin{matrix} E_{1} \\ 0 \end{matrix}] \dot{y} + [\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] y = f 。

$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$ その後の可逆性

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$ 可変変換があることを意味します

\tilde{y} \to y

$\tilde y \to y$ 最終的に係数の列を交換して、

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] \to [\begin{matrix} {\tilde{E}}_{11} & {\tilde{E}}_{12} \\ {\tilde{A}}_{21} & {\tilde{A}}_{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$ と

{\tilde{A}}_{22}

$\tilde A_{22}$ invertible (full rank property of

A_{2}

$A_2$ ) and

{\tilde{A}}_{11} - {\tilde{E}}_{12} {\tilde{A}}_{22}^{- 1} {\tilde{A}}_{21}

$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$ invertible (the Schur complement).

For the system $(*)$ this means that the algebraic part defined with $A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$ can be used to solve for a part $\tilde y_2$ of $(p_h,u_{x,h})$ . Then, one can eliminate $\frac{d}{dt}\tilde y_2$ from the differential part (the second block line in $(*)$ ), to obtain an ODE for the remaining variables.

— Jan
ソース

This is a very interesting technique. I looked at the paper you referenced, and I'm curious how you concluded that

[\begin{array}{cc} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ I & I \end{array}]

$\left[\begin{array}{cc}-\partial_h &\partial_h\\ I & I \end{array}\right]$ must be invertible. Which theorem did you apply?

— Paul

@Paul I didn't find a theorem for reference, so I will insert the arguments into my answer...

— Jan

4

I am not familiar with the equations given here, but I remember learning another method for checking the stability of a numerical scheme in my coursework. It is known as Modified Equation analysis.

Here is a good reference for that,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

In the above reference, the connection between stability theory based on Modified Equation analysis and Von Neumann stability analysis is established.

After a bit of online search, I came across following references,

This paper discusses Finite difference modeling of Biot's poroelastic equations at seismic frequencies. It has a section on stability of numerical scheme as well.

This paper presents a solution strategy of decoupling the coupled system, and checking the stability of numerical scheme.

— Subodh
ソース

私は上記の方程式に対して修正された方程式の分析を行っていませんが、フォンノイマン分析の代替案を質問するときに、上記の答えを書きました。質問に答えない可能性は十分にあります。しかし、誰かがリストされた参考文献を彼/彼女の仕事で役に立つと思うかもしれません。

— -Subodh

参考にしていただきありがとうございます！修正方程式分析の論文で必要なフォームは、使用している方程式に完全には適合していないことがわかりますが、新しい分析手法を学ぶのは非常に興味深いことです！

— ポール