差分法で境界条件を課す方法

高次の中心差分近似を使用したいときに問題があります：

（ \frac{- {あなたは}_{私 + 2 、 j} + 16 {あなたは}_{私 + 1 、 j} - 30 {あなたは}_{私 、 j} + 16 {あなたは}_{私 - 1 、 j} - {あなたは}_{私 - 2 、 j}}{12} ）

$\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right)$

ポアソン方程式の

（ {あなたは}_{バツ バツ} + {あなたは}_{y y} = 0 ）

$(u_{xx}+u_{yy}=0)$ 境界条件が次の正方形領域の場合：

u (0, y) = u (x, 0) = u (x, 1) = 0, u (1, y ） = 罪 π y

$u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y$

Δ x = Δ y = 0.1

$\Delta{x}=\Delta{y}=0.1$

ドメインの内側のポイントの値を取得する場合、この近似を考慮して、いくつかのポイントは境界の外側のポイントに依存します。たとえば、には、の値が境界の外側にある必要があります。この場合、誰でも助けてくれますか？ $u_{1,1}$ $u_{i-2,j}=u_{-1,0}$

pde finite-difference

— リオナ
ソース

あなたはディリクレ境界条件を使用していると思いますか？

— ポール

課す境界条件を明記してください。

— デビッドケッチャソン

鍵は、境界条件を使用して、これらの値に関係する制約を取得することです。PDEを数値的に解こうとしたことがないので拡張できませんが、このアイデアはODEで機能します。誰でもこれを確認できますか？

— アストロフアンル

高次のメソッドでは、この方法でゴーストセルを埋めることにより、メソッドの安定性を確保するのが難しい場合があります。とは言っても、楕円問題は通常、私の経験からはより寛容なので、あなたはそれで逃げることができるかもしれません。

— ジェレミーコズドン

liona、質問を編集し、そこに境界条件を追加できます。これは、コメントに入力するよりもはるかに優れています。

— デビッドケッチャソン

回答:

部品ごとの合計（SBP）差分法を検討することもできます。Ken Mattssonはこれらの方法について多くの仕事をしています。開始する適切な場所は、ここ（定数係数）とここ（可変係数）です。

基本的に、これらのメソッドの動作方法は、内部の標準的な中央メソッドであり、境界近くの片側への移行です。SBPテクノロジーの重要な部分は、片側への移行が、境界条件を含めた後でも時間依存の問題に対する方法の安定性を証明できることです。（これは、演算子自体がノルムを「定義」するために可能です。これは、部品による個別の統合を模倣します。）

あなたはポアソンの方程式を見ていると言いますが、境界条件がSBP演算子と楕円方程式にどのように安定して含まれているかは完全にはわかりません。私はこれらを楕円問題のために使った経験があり、あなたが何をするかは問題ではないことを示しているようです。

— ジェレミー・コズドン
ソース

境界点の近くで高次の精度を得るために使用できる他のステンシルがあります。現在のステンシルの形式は次のとおりです。

$Au_{i+2,j} + Bu_{i+1,j} + Cu_{i,j}+Du_{i-1,j}+Eu_{i-2,j}$

ただし、次のように境界付近で別のステンシルを使用することもできます。

$Au_{i+3,j} + Bu_{i+2,j}+Cu_{i+1,j}+Du_{i,j} +Eu_{i-1,j}$

で値を計算するため。2番目のステンシルの係数は、最初の式の係数とは異なることに注意してください。 $u_{1,1}$

同様に、反対の境界の値を同様の式で近似できます。

— ポール
ソース

答えてくれてありがとう、しかし

つのタイプの差分近似法しか使用しない場合

値を計算する方法は？（つまり、さまざまな場所でさまざまな近似タイプが使用されていることは正しいでしょうか？）

u_{1, 1}

$u_{1,1}$

— liona

係数を取得するにはどうすればよいですか？

— リオーナ

有限差分式の導出方法を理解するには、レベックの本の第1章faculty.washington.edu/rjl/fdmbookが参考になります。テイラー級数と少しの代数になります。

— デビッドケッチャソン

@liona：はい、異なる場所で異なる近似式を使用できます...一般に、すべての式が希望する切り捨ての順序に準拠していることを確認することがより重要です。あなたの数値解が注文のようにしたい場合は、ある

、その後、すべての有限差分近似のもの打ち切り誤差持っている必要があり、

O (h^{2})

$O(h^2)$

O (h^{2})

$O(h^2)$

— ポール

A U (x + h)

$AU(x+h)$

B U (x)

$BU(x)$

C U (x - h)

$CU(x-h)$

D U (x - 2 h)

$DU(x-2h)$

E U (x - 3 h)

$EU(x-3h)$

U_{x x}

$U_{xx}$

-4

私の名前david Edwards jrでresearchgateにある私のfdm論文をご覧ください。質問があれば、喜んでお手伝いします。

デビッド

— デビッド
ソース

他の人に他の場所を検索するよう指示するだけでは、有用な答えにはなりません。少なくとも、ここで回答の概要を提供し、詳細へのリンクを提供する必要があります。さらに、私たちの多くは、ResearchGateの実行方法に同意していないため、そのサイトとのすべてのやり取りを避けているため、提案された方法で論文を見ることができません。

— ダグリピンスキー

質問の回答に必要だと思われる背景の要約を含めるように回答を修正してください。回答は、比較的自己完結していることを意図しています。読者に論文を検索するように紹介することは自己完結型ではなく、その内容の要約を提供するよりもはるかに有用ではありません。

— ジェフオックスベリー