ノイマン問題を解決し、レベル数に依存しない収束速度を持つマルチグリッドアルゴリズムはありますか？

マルチグリッド法は通常、レベル上のディリクレ問題を解決します（たとえば、ポイントヤコビやガウスザイデル）。連続有限要素法を使用する場合、小さなディリクレ問題を組み立てるよりも、小さなノイマン問題を組み立てる方がはるかに安価です。BDDC（FETI-DPなど）などの非重複ドメイン分解法は、レベルで「ピン留めされた」ノイマン問題を解決するマルチグリッド法として解釈できます。残念ながら、マルチレベルBDDCの条件数は次のようにスケーリングされます

C {（ 1 + ログ （ \frac{H}{h} ） ）}^{2 L}

$C \left(1 + \log \left(\frac{H}{h}\right)\right)^{2L}$

ここで、はレベル数、は粗化率です。対照的に、ディリクレ問題に基づくスムーザーを使用したマルチグリッド法の条件数には、レベル数に依存しない条件数があります。 $L$ $H/h$

レベルの独立性を失うことなく、「固定された」ノイマン問題を解決する方法はありますか？

pde multigrid

— ジェド・ブラウン
ソース

注：これは、この分野で働いている多くのアナリストが見落としていると思われる実際的な懸念であるため、ここでは課題として投稿された公開調査の質問です。

— ジェッドブラウン

少なくともDDコンテキストで行うのと同じ役割を期待している場合、マルチグリッドコンテキストで「Pinned Neumann」ブロックスムーザーとまったく同じものが何であるかを言うのは困難です。これがどうなるかについてあなたが持っているかもしれないインクリングについて詳しく説明してもらえますか？

— ピーターブルーン

これがBDDCとどれほど違うのかはわかりませんし、あまり徹底的に分析されていませんが、これを以前読んだときは興味深いようでした

大きなグリッドでの流体シミュレーション用の並列マルチグリッドポアソンソルバー

— セリオン
ソース

この論文では、有限差分法を使用します。そのため、局所ディリクレ問題を構築するのが自然です。減衰されたヤコビスムーザーを使用します（単一点ディリクレ問題）。メモリが少なく（このクラスのメソッドに共通）、スタッガードグリッド補間を使用します（一般的ではありません）。それは素晴らしい論文かもしれませんが（注意深く読みませんでした）、この質問には重要ではありません。

— ジェッドブラウン