] 0,1 [の熱方程式の周期境界条件

私たちは一次元でスムーズな初期条件と熱方程式を考えてみましょう：

$$\partial_t u = \partial_{xx} u$$ 開区間で$]0,1[$、と私たちは有限差分を数値的にそれを解決したいと仮定しましょう。

問題を適切に解決するには、$x=0$およびで境界条件を付与する必要があることを知ってい$x=1$ます。ディリクレまたはノイマンがうまく機能することを知っています。

最初のケースで$N$内点$x_k=\frac{k}{N+1}$のために$k=1,\cdots,N$、その後、私は$N$未知数を：$u_k=u(x_k)$のための$k=1,\cdots,N$、ので$u$境界で規定されています。

2番目のケースでは、$N+2$未知数実際にあり$u_0,\cdots,u_{N+1}$、境界でラプラシアンを離散化するために（同種の）ノイマンBCを使用する方法を知っています。$x_{-1}$および$x_{N+2}$および等式：

$$\frac{u_1-u_{-1}}{2 h} = 0 = \frac{u_{N+2}-u_N}{2 h}$$

私の質問は、定期的なBCについてです。私は1つの方程式を使用することができると感じている、すなわち が、おそらく2、そして私が使用する ∂ Xのu （0 ）= ∂ X Uを（1

$$u(0) = u(1)$$ $$\partial_x u(0) = \partial_x u(1)$$

しかし、私にはわかりません。どれだけの未知数を持っているべきか、私にもわかりません。それは、？$N+1$

これを行う最良の方法は、（あなたが言ったように）周期境界条件の定義を使用し、という事実を使用して最初から方程式を正しく設定することです。実際、さらに強力なのは、周期的な境界条件がx = 0をx = 1で識別することです。このため、ソリューションドメインにはこれらのポイントのうち1つのみを含める必要があります。周期的な境界条件を使用する場合、境界がないため、オープン間隔は意味がありません。$u(0)=u(1)$$x=0$$x=1$

この事実は、x = 0と同じであるため、点を置かないことを意味します。離散N + 1つの点、あなたはその後、事実を使用することを定義することにより、左側のポイントのx 0 IS X Nとの右のポイントxをNであるX 0を。$x=1$$x=0$$N+1$$x_0$ $x_N$$x_N$ $x_0$

PDEは、空間でdiscとして離散化できます。

$$\frac{\partial}{\partial t} \left[\begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_N \end{array}\right] = \frac{1}{\Delta x^2} \left[\begin{array}{c} x_N - 2x_0 + x_1 \\ x_0 - 2x_1 + x_2 \\ \vdots \\ x_{N-1} - 2x_N + x_0 \end{array}\right]$$

これは、行列形式で書くことができる ここで、 A=[ - 2 1 0 ⋯ 0 1 1 - 2 1 0 ⋯

$$\frac{\partial}{\partial t}\vec{x} = \frac{1}{\Delta x^2} \mathbf{A} \vec{x}$$ $$\mathbf{A} = \left[\begin{array}{c} -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ && \ddots & \ddots & \ddots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].$$

もちろん、このマトリックスを実際に作成または保存する必要はありません。必要に応じて最初と最後のポイントを特別に処理するように注意しながら、有限差分をその場で計算する必要があります。

$$\partial_t u = \partial_{xx}u + b(t,x)$$ $x\in[-1,1)$$u_\text{Ref}(t,x) = \exp(-t)\cos(5\pi x)$$b(t,x) = (25\pi^2-1)\exp(-t)\cos(5\pi x)$

clear

% Solve: u_t = u_xx + b
% with periodic boundary conditions

% analytical solution:
uRef = @(t,x) exp(-t)*cos(5*pi*x);
b = @(t,x) (25*pi^2-1)*exp(-t)*cos(5*pi*x);

% grid
N = 30;
x(:,1) = linspace(-1,1,N+1);

% leave off 1 point so initial condition is periodic
% (doesn't have a duplicate point)
x(end) = [];
uWithMatrix = uRef(0,x);
uNoMatrix = uRef(0,x);

dx = diff(x(1:2));
dt = dx.^2/2;

%Iteration matrix:
e = ones(N,1);
A = spdiags([e -2*e e], -1:1, N, N);
A(N,1) = 1;
A(1,N) = 1;
A = A/dx^2;

%indices (left, center, right) for second order centered difference
iLeft = [numel(x), 1:numel(x)-1]';
iCenter = (1:numel(x))';
iRight = [2:numel(x), 1]';

%plot
figure(1)
clf
hold on
h0=plot(x,uRef(0,x),'k--','linewidth',2);
h1=plot(x,uWithMatrix);
h2=plot(x,uNoMatrix,'o');
ylim([-1.2, 1.2])
legend('Analytical solution','Matrix solution','Matrix-free solution')
ht = title(sprintf('Time t = %0.2f',0));
xlabel('x')
ylabel('u')
drawnow

for t = 0:dt:1
    uWithMatrix = uWithMatrix + dt*( A*uWithMatrix + b(t,x) );
    uNoMatrix = uNoMatrix + dt*(  ( uNoMatrix(iLeft) ...
                                - 2*uNoMatrix(iCenter) ...
                                  + uNoMatrix(iRight) )/dx^2 ...
                                + b(t,x) );
    set(h0,'ydata',uRef(t,x))
    set(h1,'ydata',uWithMatrix)
    set(h2,'ydata',uNoMatrix)
    set(ht,'String',sprintf('Time t = %0.2f',t))
    drawnow
end

これによれば、次のような周期的な境界条件を課す必要があります。

$$\begin{equation} u(0, t) = u(1, t) \\ u_x(0, t) = u_x(1, t) \end{equation}$$

後方オイラーを暗黙的に使用して熱方程式を離散化する1つの方法は、

$$\begin{equation} \frac{u^{n+1}-u_{n}}{\Delta t}= \frac{u^{n+1}_{i+1}-2u^{n+1}_{i}+u^{n+1}_{i+1}}{\Delta x^2} \end{equation}$$

連立方程式を解く

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_1 \\ \vdots \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u^n_1 \\ u^n_2 \\ \vdots \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$$

$$\begin{equation} A= \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 &\ldots & 0 \\ 0 & 1 & -2& 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1& -2 & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 & -2 & \ldots & 0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots &\ddots &\vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots &0 &1 &-2 \end{bmatrix} \end{equation}$$

周期境界条件は、さらに2つの方程式と2つの追加（ゴースト）セルを追加することで含めることができます $u_{0}$ そして $u_{N+1}$ そのような：

$$\begin{equation} u_1 - u_{N} = 0 \\ \frac{u_{2}-u_{0}}{2 \Delta x} - \frac{u_{N+1}-u_{N-1}}{2 \Delta x} = 0 \end{equation}$$

セクション2.11 LeVequeによると、これにより2次精度が得られます。$u_x$

最後に、方程式系は次のようになります。

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 1 & 0 & -1 \\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_{0}\\ u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \\ u^{n+1}_{N+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ u^n_1 \\ u^n_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$$

これにより、N + 2個の方程式とN + 2個の未知数が得られます。

また、最初の方程式とゴーストセルを取り除き、N個の方程式とN個の未知数のシステムに到達することもできます。