有限差分法によって離散化された移流方程式の境界条件

有限差分法を使用してPDEを解くときに境界条件を選択する方法を説明するのに役立つリソースを見つけようとしています。

私が現在アクセスできるすべての本とメモは、同様のことを言っています：

境界が存在する場合の安定性を管理する一般規則は、入門テキストとしては複雑すぎます。彼らは洗練された数学的な機械を必要とします

（A.イセル微分方程式の数値解析の最初のコース）

たとえば、移流方程式に2段階のリープフロッグ法を実装しようとする場合：

$u_i^{n+1} = u_i^{n-1} + \mu (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n)$

MATLABを使用して

M = 100; N = 100;

mu = 0.5;

c = [mu 0 -mu];
f = @(x)(exp(-100*(x-0.5).^2));

u  = zeros (M, N);
x = 1/(M+1) * (1:M);

u(:,1) = f(x);
u(:,2) = f(x + mu/(M+1));

for i = 3:N
    hold off;
    u(:,i) = conv(u(:,i-1),c,'same') + u(:,i-2);
    plot(x, u(:,i));
    axis( [ 0 1 0 2] )
    drawnow;
end

このソリューションは、境界に到達するまでうまく動作し、突然突然動作が異常になります。

このような境界条件の処理方法はどこで学べますか？

Sloedeの対応は非常に綿密で正確です。把握しやすいように、いくつかのポイントを追加したかっただけです。

基本的に、波動方程式には固有の波速度と方向があります。1次元の波動方程式の場合： 波速度は定数であり、情報がドメイン内を伝播する速度だけでなく、その方向も決定します。場合、情報は左から右に進み、場合は逆になります。a a > 0 a <

$$u_t + a u_x = 0$$ $a$$a>0$$a<0$

リープフロッグ法の場合、方程式を離散化すると、次のようになります。 または： ここで、です。あなたの場合、、U N iは =uと N - 2 I +μ（U N - 1 I + 1 -U N - 1 I - 1

$$\frac{u_i^{n} - u_i^{n-2}}{2 \Delta t} + a \frac{u_{i+1}^{n-1} - u_{i-1}^{n-1}}{2 \Delta x} = 0$$ $$u_i^{n} = u_i^{n-2} + \mu (u_{i+1}^{n-1} - u_{i-1}^{n-1})$$ $\mu = -a \Delta t/\Delta x$$\mu > 0$これは、左に行く波に変換されます。考えてみると、左に移動している波は、右の境界で境界条件のみが必要になります。これは、左のすべての値が右隣を介して更新されるためです。実際、左の境界で値を指定することは、問題の性質と矛盾します。単純な風上などの特定の方法では、スキームはステンシル内の正しい近傍のみを含むため、これは自動的に処理されます。跳躍カエルのような他の方法では、「正しい」値を指定する必要があります。

これは通常、内部ドメインからの外挿によって行われ、欠損値が検出されます。多次元および非正準問題の場合、これには、フラックスヤコビアンのすべての固有ベクトルを見つけて、境界のどの部分が実際に境界条件を必要とし、どの部分が外挿を必要とするかを決定することが含まれます。

一般的な答え
あなたの問題は、境界条件をまったく設定していない（または指定さえしていない）ことです。数値問題は不明確です。

一般に、境界条件を指定するには2つの方法があります。

1. 外部でおよびu 101を指定することにより、たとえば正確な解を通して境界条件を設定します。$u_{0}$$u_{101}$
2. 境界で内部情報のみを使用するように数値ステンシルを変更します。

どちらに進むかは、問題の物理学に大きく依存します。波動方程式タイプの問題では、通常、外部境界条件が必要かどうか、または内部解を使用するかどうかを決定するために、フラックスヤコビアンの固有値を決定します（この方法は一般に「巻き上げ」と呼ばれます）。

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$u_{i-1}^n$$u_{i+1}^n$$i$$n+1$$i = 1$$u_{0}^n$$u_{100}^{n+1}$$u_{101}^n$

$u_{1}^n$$u_{100}^n$

ソースコードの修正版は以下にあります：

M = 100; N = 100;

mu = 0.5;

c = [mu 0 -mu];
f = @(x)(exp(-100*(x-0.5).^2));

u  = zeros (M, N);
x = 1/(M+1) * (1:M);

u(:,1) = f(x);
u(:,2) = f(x + mu/(M+1));

for i = 3:N
    hold off;
    %u(:,i) = conv(u(:,i-1),c,'same') + u(:,i-2);

    % Apply the numerical stencil to all interior points
    for j = 2:M-1
        u(j,i) = u(j,i-2) + mu*(u(j+1,i-1) - u(j-1,i-1));
    end

    % Set the boundary values by interpolating linearly from the interior
    u(1,i) = 2*u(2,i) - u(3,i);
    u(M,i) = 2*u(M-1,i) - u(M-2,i);

    plot(x, u(:,i));
    axis( [ 0 1 0 2] )
    drawnow;
end

それで、これをもう少し詳しく見てきましたが、これは（少なくとも私が扱っている基本的なケースでは）メソッドのグループ速度に依存しているようです。

leapfrogメソッド（たとえば）は次のとおりです。

$u_{i}^{n+1} = u_{i}^{n-1} + \mu (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n)$

$u_k^n = e^{i( \zeta k \Delta x + \omega(\zeta) n \Delta t)}$

$e^{2 i \omega \Delta t} = 1 + \mu e^{i\omega \Delta t} ( e^{i \zeta \Delta x} - e^{-i \zeta \Delta x} )$

$\sin(\omega \Delta t) = \mu \sin (\zeta \Delta x)$

$\frac{d\omega}{d\zeta} = \frac{\cos (\zeta \Delta x)}{\sqrt{1-\mu^2 sin^2(\zeta \Delta x)}} \in [-1,1]$

次に、境界条件の群速度を見つける必要があります。

$u_1^{n+2} = u_1^n + \mu u_2^{n+1}$

次のように境界グループの速度を計算できます。

$2 i \sin(\omega \Delta t) = \mu e^{i \zeta \Delta x}$

そのため、境界が許可するグループ速度を見つけるには、次を見つける必要があります。

$\omega = c \zeta$

$\cos(\zeta \Delta x) = 0, \mu \sin(\zeta \Delta x) = 2 \sin (\zeta c \Delta t)$

$\zeta = \frac{\pi}{2 \Delta x}$$\mu = 2 \sin (\frac{c \mu \pi}{2})$$c \in [-1,1]$$\mu$

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$u_0^{n+1} = u_1^{n}$$[-1,1]$

これを完全に理解する前に、これについてさらに読む必要があります。私が探しているキーワードはGKS理論だと思います。

このすべてのA IserlesパートIIIノートのソース

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私がやったことのより明確な計算は、ここで見つけることができます：http : //people.maths.ox.ac.uk/trefethen/publication/PDF/1983_7.pdf

みんな私はこのサイトに非常に新しいです。たぶんこれは尋ねる場所ではないかもしれませんが、私はここで非常に新しいのでご容赦ください:)私は非常に似た問題を抱えています。唯一の違いは開始関数であり、私の場合は余弦波です。私のコードはこれです：すべてをクリアします。clc; すべて閉じる;

M = 1000; N = 2100;

mu = 0.5;

c = [mu 0 -mu]; f = @（x）1- cos（20 * pi * x-0.025）。^ 2; u =ゼロ（M、N）; x = 0：（1 / M）：0.05; u（1：length（x）、1）= f（x）; u（1：length（x）、2）= f（x-mu /（M））; x = linspace（0,1、M）;

for i = 3：Nホールドオフ;

% Apply the numerical stencil to all interior points
for j = 2:M-1
    u(j,i) = u(j,i-2) - mu*(u(j+1,i-1) - u(j-1,i-1));
end

% Set the boundary values by interpolating linearly from the interior
u(M,i) =  2*u(M-1,i-1) - u(M-2,i-1);

plot（x、u（：、i））; axis（[0 1.5 -0.5 2]）drawnow; ％pause end

このコードはすでにここにありますが、何らかの理由で、おそらくコサイン波に関連して、私のコードは失敗します：/助けていただければ幸いです:)ありがとう！