初期境界値PDEの数値解法では、空間で並列処理を使用することが非常に一般的です。時間離散化で何らかの形式の並列処理を使用することはあまり一般的ではなく、通常、並列処理ははるかに制限されています。時間的並列性を示すコードと公開された作品の数が増えていることは承知していますが、空間的並列性を含むものはありません。
空間と時間の両方に並列性を含む実装の例はありますか？出版物と入手可能なコードの両方に興味があります。
回答:
PFASSTは（パラレル全近似空間と時間におけるスキーム）とPEPC（プリティ・効率的な並列クーロン）のアルゴリズムは、最近、空間と時間の両方で並列処理を実現するために一緒に使用されています。
PFASSTは時間の並列化を行い、PEPCは空間の並列化を行います。この結果は最近DD21カンファレンスで発表され、PFASST + PEPCの組み合わせを説明するSC12の提出を準備しました。
400万個の粒子（PEPCは並列N体ソルバー）で構成される「小さな」問題は、PEPC のみを使用してJUGENEで最大8192コアまでスケーリングすることが示されました（つまり、空間でのみ並列）。これを超えて、通信コストが大幅になり、並列効率が低下し始めました。PFASSTを追加すると、32個の「時間」プロセッサー（それぞれ8192個の「空間」コアで構成される）を使用して、この固定サイズの問題を262,144コア（つまり、JUGENEを埋める）で実行できます。
時間並列アルゴリズムの並列効率は100％ではありませんが、このPFASST + PEPC構成で32個のPFASSTプロセッサを使用すると、約6.5倍の高速化を実現できました。
プレプリントへのリンクは次のとおりです。超時空並列N体ソルバー
また、時空DGおよび連続ガラーキン法もあります。求積法を選択した後、時間方向に構造化されたグリッドを持つ時空DGは、暗黙のルンゲクッタ法と同等です。ただし、時空間DGメソッドでは、ドメインのさまざまな部分で異なるステップサイズを使用できます。これは、暗黙的なRKメソッドでは分析が困難なケースです。このコンテキストでは、時空間マルチグリッドメソッドも適用できます。
時空間並列シミュレーションを検討すると、サブドメインは複数の時間レベルにわたる時空です。波形緩和と呼ばれる方法は、時空間サブドメインを活用しますが、空間のみで並列化されます（時間次元にパーティションはありません）。したがって、空間分割と時間分割のデカルト座標は、一種の時空並列性を提供します。ここで、このようなデカルト法に関する論文を見つけることができます。Jed Brownが答えで述べたように、時空間法はより柔軟な並列シミュレーションを提供するだけでなく、離散化の適応性も提供します。後者のトピックでは、Schwabの作品をGoogleで検索できます。プロジェクトも参照してください。並列性と適応性の両方を活用する作業については、R。Haynesのホームページをご覧ください。
Pararealアルゴリズムと、スペクトル遅延補正のような関連する作業を見てください（単純なGoogle検索では、非常に多くの資料が見つかります）。基本的な考え方は、時間内に粗い「メッシュ」を使用し、大まかな時間ステップを実行することですが、それをもう一度調べて、より細かい時間スケールで修正を実行します。主に流体シミュレーションで使用されるようですが、私は電磁気学の分野にいるので、これ以上詳しく言うことはできません。私がそれについて知っている唯一の理由は、私が遅延修正アプローチに関するセミナーに参加したためであり、あらゆる種類の並列化が時間内に実行できることは非常に興味深いようでした。
最適な制御で使用される複数の射撃方法は、各射撃間隔の副問題を並行して解決できるように設計されています。これを空間的並列性と結びつける論文は知らない（方程式が時間依存の空間PDEである過去に解決された最適な制御問題はそれほど多くない）が、空間と時間の両方。