タグ付けされた質問 「ds.algorithms」

タスクを完了するための明確に定義された指示、および時間/メモリ/その他に関する関連分析に関する質問。

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アルゴリズム設計における加法組み合わせ論的応用
TCSでの加算的組み合わせのアプリケーションに関するTrevisanとLovettによる調査を読んでいます。これらのアプリケーションの大部分は、計算の複雑さ、たとえば下限に該当します。加算的組み合わせ論はアルゴリズム設計にも応用できるのだろうか。 私の質問の動機は次のとおりです：加算的組み合わせ論と複雑さの関係はやや自然に思えますが、効率的なアルゴリズムを設計する際に、加算的組み合わせ論によって明らかにされた代数構造がどのように活用されるのか興味があります。文献へのポインタをいただければ幸いです。
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最適なランダム化比較ソート
したがって、我々はすべての比較ツリーの下限を知っています！⌉（決定）比較ソートアルゴリズムによって行われた比較の最悪の場合の数に。ランダム化された比較ソートには適用されません（最悪の場合の入力に対して予想される比較を測定する場合）。たとえば、n = 4の場合、決定論的な下限は5回の比較ですが、ランダム化アルゴリズム（入力をランダムに並べ替えてからマージソートを適用）は4 2⌈ ログ2n ！⌉⌈ログ2⁡n！⌉\lceil\log_2 n!\rceiln = 4n=4n=4すべての入力について期待される 3つの比較。4 234234\frac{2}{3} 情報理論的な議論により、ランダム化された場合には上限なしでバインドされますが、 k + 2 （n ！− 2 k）ログ2n ！ログ2⁡n！\log_2 n! これは、入力をランダムに並べ替えてから（決定論的）決定木を適用する最適なアルゴリズムがあり、最適な決定木（存在する場合）はすべての葉が2つの連続したレベルにあるものだからです。k + 2 （n ！− 2k）n ！、 K = ⌊ ログ2n ！⌋ 。k+2（n！−2k）n！、 どこ k=⌊ログ2⁡n！⌋。k+\frac{2(n!-2^k)}{n!} \text{, where } k=\lfloor\log_2 n!\rfloor. この問題の上限について何かわかっている場合はどうなりますか？すべてのについて、ランダム化された比較数（予想される場合、最悪の場合の入力、可能な限り最高のアルゴリズム）は、常に最高の決定論的アルゴリズムよりも厳密に優れています（本質的に、n ！は2のべき乗ではないため） 。しかし、どれほど良いですか？n > 2n>2n>2n ！n！n!
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セットカバー問題のこのバリアントは何として知られていますか？
入力は、宇宙であるの部分集合のファミリー、たとえば、。のサブセットがをカバーできると仮定します。つまり、です。U U F ⊆ 2 U F U ⋃ E ∈ F E = UUUUUF⊆2U{\cal F} \subseteq 2^UF{\cal F}UU⋃E∈FE=U\bigcup_{E\in {\cal F}}E=U インクリメンタルカバーシーケンスは、でサブセットのシーケンスである、たとえば、、満足することF A = { E 1、E 2、… 、E | A | }F{\cal F}A={E1,E2,…,E|A|}{\cal A}=\{E_1,E_2,\ldots,E_{|{\cal A}|}\} 1）、∀ E ∈ A、E ∈ F∀E∈A,E∈F\forall E\in {\cal A}, E\in {\cal F} 2）すべての新参者に新しい貢献があります。つまり、∀ I …
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小さなスペースで確率の順にベクトルを反復する方法
検討nnn次元ベクトルV iは ∈ { 0 、1 }。各iについて、p i = P （v i = 1 ）がわかっており、v iが独立していると仮定します。これらの確率を使用して、出力サイズで空間準線形を使用して、最も可能性の高いものから最も低い可能性の順に（タイの任意の選択で）バイナリn次元ベクトルを反復する効率的な方法はありますか？ vvvvi∈{0,1}vi∈{0,1}v_i \in \{0,1\}iiipi=P(vi=1)pi=P(vi=1)p_i = P(v_i = 1)viviv_innn 例えば取るp={0.8,0.3,0.6}p={0.8,0.3,0.6}p = \{0.8, 0.3, 0.6\}。最も可能性の高いベクトルである(1,0,1)(1,0,1)(1,0,1)と少なくとも可能性がある{0,1,0}{0,1,0}\{0,1,0\}。 非常に小さいnnn、2n2n2^nベクトルのそれぞれにその確率でラベルを付けて単純に並べ替えることができますが、これはもちろんサブリニアスペースを使用しません。 この質問の近い変種は、以前/cs/24123/how-to-iterate-over-vectors-in-order-of-probabilityで尋ねられました。
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無向グラフの長さ制限のある単純なstパスの一部であるすべてのノードとエッジを含むサブグラフ
以前に投稿した質問とかなり似ています。ただし、今回はグラフは無向です。 与えられた 無向グラフない複数のエッジまたはループを有します、GGG ソース頂点、sss ターゲット頂点ttt、 最大の光路長lll、 私が探していG′G′G'のサブグラフ-GGG任意の頂点と任意のエッジ含まGGGから少なくとも一つの単純なパスの一部である（とのみ）を、sssをttt長さ≤l≤l\leq l。 ノート： パスを列挙する必要はありません。 非常に大きなグラフ（10 ^ 8頂点、10 ^ 9エッジ）で実行する必要があるため、効率的なアルゴリズム（時間とメモリの両方）を探しています。
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残差有限状態オートマトンの最小化
残留有限状態オートマトン（RFSA、[DLT02]で定義）は、DFAと共通の優れた機能を備えたNFAです。特に、すべての標準言語には標準的な最小サイズのRFSAが常に存在し、RFSAの各状態で認識される言語は、DFAの場合と同様に残余です。ただし、最小DFA状態はすべての残差を持つ全単射を形成しますが、標準RFSA状態は全残差を持つ全単射になります。これらは指数関数的に少ないため、RFSAはDFAよりもはるかにコンパクトになり、通常の言語を表現できます。 ただし、RFSAを最小化するための効率的なアルゴリズムがあるかどうか、または硬さの結果があるかどうかはわかりません。RFSAを最小化することの複雑さは何ですか？ ブラウジング[BBCF10]から、これが常識であるとは思えません。一方では、RFSAに関する「このNFAはRFSAですか？」この場合、PSPACE完全な非常に困難です。一方、[BHKL09]は、標準RFSAがAngluinの最小限の適切な教師モデル[A87]で効率的に学習可能であり、最小RFSAを効率的に学習し、RFSAを最小化することは同等の難しさのようです。ただし、[BHKL09]のアルゴリズムは最小化アルゴリズムを意味するわけではありません。反例のサイズに制限はなく、RFSAを効率的にテストして反例のオラクルをシミュレートする方法が明確ではないためです。 。たとえば、2つのNFAの同等性をテストすることはPSPACE-completeです。 参照資料 [A87] Angluin、D.（1987）。クエリと反例から通常のセットを学習します。情報と計算、75：87-106 [BBCF10] Berstel、J.、Boasson、L.、Carton、O.、＆Fagnot、I.（2010）。オートマトンの最小化。arXiv：1010.5318。 [BHKL09] Bollig、B.、Habermehl、P.、Kern、C.、およびLeucker、M.（2009）。NFAのアングルインスタイル学習。ではIJCAI、9：1004年から1009年。 [DLT02] Denis、F.、Lemay、A.＆Terlutte、A.（2002）。残差有限状態オートマトン。Fundemnta Informaticae、51（4）：339-368。
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色彩数とベクトル色数の間にギャップがある小さなグラフ？
私は小さなグラフを探していそのベクトル色数色数未満であるχ V（G ）&lt; χ （G ）。GGGχv（G ）&lt; χ （G ）χv（G）&lt;χ（G）\chi_v(G)<\chi(G) （ベクトル色番号有するQを割り当てがある場合、X ：V → Rと D。隣接する頂点に関連付けられた直感的ベクターは遠く離れている必要があり、⟨ X （V ）、X （W ）⟩ ≤ - 1 /（q − 1 ）。たとえば、q = 3の場合、三角形の頂点で十分です。）GGGqqqx ：V→ Rdバツ：V→Rdx\colon V \rightarrow \mathbf R^d⟨ X （V ）、X （W ）⟩ ≤ - 1 /（Q− 1 ）⟨バツ（v）、バツ（w）⟩≤−1/（q−1）\langle x(v), x(w)\rangle \leq -1/(q-1)q= …
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シンプレックス法の数値安定性
シンプレックスアルゴリズムは、実際の算術演算で処理されるか、正確な計算を行う離散世界で処理されることがよくあります。ただし、ほとんどの場合、浮動小数点演算で実装されるようです。 これは、シンプレックスアルゴリズムを数値アルゴリズムと見なすべきかどうか、特に丸め誤差が計算にどのように影響するかという問題につながります。私は実用的な実装には興味がありませんが、理論的な基礎に興味があります。 この問題に関する研究を知っていますか？
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powerset
パワーセット2上の単調な述語を考えます。n | （包含順）。"単調"と私は意味：∀ のx 、yの∈ 2 | n | その結果、X ⊂ Y、もしP （X ）、次いでP （Y ）。私は、すべての最小限の要素を見つけるためにアルゴリズムを探していますPを、すなわち、X ∈ 2 | n | そのようなP （x ）PPP2|n|2|n|2^{|n|}∀x,y∈2|n|∀x,y∈2|n|\forall x, y \in 2^{|n|}x⊂yx⊂yx \subset yP(x)P(x)P(x)P(y)P(y)P(y)PPPx∈2|n|x∈2|n|x \in 2^{|n|}P(x)P(x)P(x)しかし、¬ P （Y ）。2の幅| n | は（ n∀y⊂x∀y⊂x\forall y \subset x¬P(y)¬P(y)\neg P(y)2|n|2|n|2^{|n|}、指数関数的に多くの最小要素が存在する可能性があるため、そのようなアルゴリズムの実行時間は一般に指数関数的である可能性があります。しかし、出力のサイズが多項式であるこのタスクのアルゴリズムが存在する可能性はありますか？(nn/2)(nn/2)n \choose n/2 [コンテキスト：より一般的な質問が尋ねられましたが、出力のサイズにおけるアルゴリズムの複雑さを評価する試みはありませんでした。たとえば、最小限の要素が1つしかないと仮定すると、この回答に続いてバイナリ検索を実行して見つけることができます。ただし、さらに最小限の要素を探し続けたい場合は、既知の情報に時間を無駄にせずに検索を続行できるように、に関する現在の情報を維持する必要があります。これを行い、出力のサイズの多項式時間ですべての最小要素を見つけることは可能ですか？]PPP 理想的には、これが一般的なDAGで実行できるかどうかを理解したいのですが、。2|n|2|n|2^{|n|}
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半順序の線形拡張に関する質問
部分注文のコレクションが与えられた場合、トポロジソートは、コレクションの合計注文に対する拡張があるかどうかを通知します（この場合の拡張は、各部分注文と一致する合計注文です）。 私はバリエーションに遭遇しました： セット修正します。あなたは与えられているシーケンスσ 1、... σ k個から引き出された要素のV繰り返しなし（シーケンスが1との間の長さのものである| V |）。VVVσ1,…σkσ1,…σk\sigma_1, \ldots \sigma_kVVV|V||V||V| チェーンの結果のコレクション（半順序として表示）が拡張を許可するように、各シーケンスの方向（順方向または逆方向）を修正する方法はありますか？ この問題はよく知られていますか？ 注：方向はシーケンス全体に対して選択されます。したがって、シーケンスが場合、そのように保持するか、5 − 4 − 2 − 1に反転できます。1−2−4−51−2−4−51-2-4-55−4−2−15−4−2−15-4-2-1にことができますが、他には何もできません。
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Wilf-Zeilbergerおよび関連するメソッドの実装
Petkovsek、Wilf、Zeilberger の著書A = Bは、異なる二項の和を計算するアルゴリズムについて説明しています。私の知る限り、これらのアルゴリズムはさまざまな著者によってまだ改善されています。 これらのアルゴリズムの最新の実装がどこにあるか知っていますか？また、Sageなどの一部のフリーソフトウェアに実装が存在するかどうかを知っていますか？
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「k-tonic」シーケンスのソート
誰かがこれのリファレンスを知っていることを願っていますので、文献を読む必要はありません... 一連の数値考えます。シーケンスをn − 1間隔[ x 1、x 2 ] 、[ x 2、x 3 ] 、… 、[ x n − 1、x n ]と考えてください。明らかに、実際の線上のいずれかのポイントが最大2つの間隔で突き刺す場合、元のシーケンスはバイトニックです。私たちは、ポイントが最大で刺す配列を参照するk個あるとして間隔Kx1,…,xnx1,…,xnx_1, \ldots, x_nn−1n−1n-1[x1,x2],[x2,x3],…,[xn−1,xn][x1,x2],[x2,x3],…,[xn−1,xn][x_1, x_2], [x_2, x_3], \ldots, [x_{n-1},x_n]kkkkkk-ばかげた。視覚的に、シーケンスのグラフを描画する（つまり、ポイントを順番に接続する）場合、上記はグラフとk回以上交差する水平線がないという条件に対応します。pi=(i,xi)pi=(i,xi)p_i =(i,x_i)kkk イディオティックシーケンスをO （n log k ）時間でソートできることを確認するのは、それほど難しくありません（しかし、あまり簡単でもありません）。これは明らかに最適です。kkkO(nlogk)O(nlog⁡k)O( n \log k ) 質問：この結果を知っておく必要があります。適切なrefを知っていますか？
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テキストを一定の行数に均等に分割します
テキストを最大幅の行に均等に分割するための線形時間アルゴリズムがあります。SMAWK（またはKnuth＆Plass）を使用し、「均等」という意味：http : //en.wikipedia.org/wiki/Word_wrap#Minimum_raggedness 上記のアルゴリズムに、最大行幅ではなく、テキストを分割する行数を考慮に入れるアルゴリズムまたは凹型コスト関数がありますか？線形時間でも？ つまり、入力が目的の行幅ではなく、目的の行数である改行（または段落の形成、またはワードラップ）アルゴリズムを探しています。 実際には使用できないアプローチを説明するために、各単語ペアの間にN個の単語とN-1個のスペースがあり、Mは目的の行数（M &lt;= N）です。各スペースの後に、最大で1つ（場合によってはゼロ）の改行があります。これで、アルゴリズムは可能な組み合わせのそれぞれにブレークを配置し、「不規則性」を計算して最適なものを返します。もっと速くする方法は？ また、そのような問題には名前がありますか？問題のどの「家族」に属しますか？（たとえば、「ビン梱包」）完全に最適なソリューションが必要ない場合、非常に良いソリューションだけで、はるかに速く解決することは可能ですか？（特定の入力に対して常に同じ、場合によっては最適ではないソリューションがあれば、何らかの形のヒューリスティックが使用可能になります）。 更新 チャンドラチェクリは、「ダイナミックプログラミングに関するクラインバーグとタルドスの章の問題」を提案しました。これは良い読み物でしたが、行数ではなく幅に基づいて改行を処理します。この問題に適応できるかもしれませんが、これは私が今考えていることです。ここにソリューションへの良いリンクがあります、彼らは線形時間でそれを解決するとさえ主張しています：http : //web.media.mit.edu/~dlanman/courses/cs157/HW5.pdf また、SkienaのThe Algorithm Design Manualには「8.5パーティションの問題」という章がありますが、これはまさにトピックに関連しているように見えますが、今でも読んでいます。（残念ながら、私が理解したことから、それは二次的な時間の複雑さを持っています）
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有限アーベル群のメンバーシップテストの複雑さ
次のabelianサブグループのメンバーシップテストの問題を考えます。 入力： 有限アーベル群G=Zd1×Zd1…×ZdmG=Zd1×Zd1…×ZdmG=\mathbb{Z}_{d_1}\times\mathbb{Z}_{d_1}\ldots\times\mathbb{Z}_{d_m}任意大きいとdidid_i。 発電セット{h1,…,hn}{h1,…,hn}\lbrace h_1,\ldots,h_n\rbrace亜群のH⊂GH⊂GH\subset G。 要素b∈Gb∈Gb\in G。 出力： 'はい'であればb∈Hb∈Hb\in Hの別の場所に'no'と」。 質問：この問題は、従来のコンピューターで効率的に解決できますか？古典的なチューリングマシンの通常の意味でO(polylog|G|)O(polylog|G|)O(\text{polylog}|G|)時間とメモリリソースを使用する場合、アルゴリズムは効率的だと思います。任意のサブグループHに対してと仮定できることに注意してください。入力サイズこの問題のは、⌈ ログ| G | ⌉。n=O(log|G|)n=O(log⁡|G|)n= O(\log|G|)HHH⌈log|G|⌉⌈log⁡|G|⌉\lceil \log|G|\rceil ややモチベーション。直観的には、線形合同システムまたは線形ディオファントス方程式を解くためのアルゴリズムで問題に取り組むことができるように見えます（以下を参照）。ただし、整数との計算のコンテキストで使用される計算効率には、強い多項式時間と弱い多項式時間、代数とビット複雑度などの異なる概念があるようです。私はこれらの定義の専門家ではなく、この質問を明確に解決する参考文献を見つけることができません。 更新：問題に対する答えは「はい」です。 遅い答えで、私はスミス正規形に基づいた方法を提案しました。これは、規定された形を持つすべてのグループにとって効率的です。 すべての特定の場合におけるものBlondinショーによって回答フォームであるD iは = NをE 、I、I及びN iが、E iが「小さな整数」であり、問題が属するNC 3 ⊂ P。小さな整数は、入力サイズO （log log | A |）で指数関数的に小さくなります。didid_idi=Neiidi=Nieid_i= N_i^{e_i}Ni,eiNi,eiN_i, e_iNC3⊂PNC3⊂P\text{NC}^3\subset \text{P}O(loglog|A|)O(log⁡log⁡|A|)O(\log\log|A|) 私の答えでは、この問題を解決するために「直交サブグループ」を使用しましたが、これは必要ないと考えています。私が読んでいる行エシェロンフォームの方法に基づいて、将来的にはより直接的な答えを提供しようとします。 いくつかの可能なアプローチ この問題は、線形合同システムおよび/または線形ディオファンタス方程式の解法と密接に関連しています。完了のためにこれらの接続を簡単に要約します。 取る、その列生成セットの要素である行列であることを { H 1、... 、HのN }。次の連立方程式AAA{h1,…,hn}{h1,…,hn}\lbrace h_1, \ldots, …
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最大独立集合の約束された上限を伴う近似グラフ彩色
私の仕事では、次の問題が発生します。 順序65の独立したセットなしでグラフの色数を近似する既知のアルゴリズムはありますか？（したがって、alpha（G）&lt;= 64が既知であり、| V | / 64は自明な下限、| V |は自明な上限です。しかし、この特別な条件下でより良い証明された近似はありますか？） 分数の色数までリラックスしたらどうなりますか？そして、平均的なケースで「良い」実行時間に？
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