理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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（整数上で）線形乗算、加算、および比較にどれだけ近づけることができますか？
Accoring KWリーガンの記事「接続スター」：、彼はまだ加算、乗算、および比較です操作は線形時間で計算可能であるような整数の表現を見つけるためのオープンな問題であることを最後に言及します 整数の表現が存在するので、加算、乗算、比較はすべて線形時間で実行可能ですか？基本的に、線形時間の離散的に順序付けられたリングはありますか？ （1）比較せずに、線形の時間の乗算と加算にどれだけ近づきますか ここでは、問題のサイズが異なる可能性があるため、整数サイズを変更できるデータ構造/アルゴリズムが必要になる場合があると想定しています。 （2）完全な問題については、整数の乗算、加算、比較の最適なスキームが見つかると想定できます。これら3つの操作の中で最も遅い（最悪の場合）線形時間にどれだけ近づけることができますか？そして、そのメモでは、他の操作はどれくらい速いでしょうか？ 公式問題声明 EmilJeřábekが言及しているように、些細なケースを除外し、この質問の最悪のケースの動作に集中したいと思います。 したがって、非負の整数およびで、および、加算、乗算、および比較が可能なデータ構造/アルゴリズムを見つけることができますか\間と中の時間と空間？∀ Y 0 ≤ X &lt; N 0 ≤ Y &lt; N 、X 、Y O （N ログ（N ））O （ログ2 （nは））∀x∀x\forall x∀y∀y\forall y0≤x&lt;n0≤x&lt;n0 \le x < n0 ≤ Y&lt; n0≤y&lt;n0 \le y < nバツバツxyyyO （n ログ（n ））O（nログ⁡（n））O(n \log{(n)})O （ログ2（n ））O（ログ2⁡（n））O(\log^2{(n)})
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グラフが
この質問について少し推論しながら、グラフが彩色に失敗する可能性のあるさまざまな理由をすべて特定しようとしました。これらは、私がこれまでに特定できた唯一の2つの理由です。kG = （VG、EG）G=(VG,EG)G = (V_G,E_G)kkk k + 1GGGは、サイズクリークが含まれています。これは明らかな理由です。k + 1k+1k+1 部分グラフが存在するの次のステートメントの両方が真であるように：GH= （VH、EH）H=(VH,EH)H = (V_H, E_H)GGG k − 1HHHは色付け可能ではありません。k − 1k−1k-1 xはG Hは、xはHを∃ のx ∈ VG− VH ∀ Y∈ VH { x 、y} ∈ EG∃x∈VG−VH ∀y∈VH {x,y}∈EG\exists x \in V_G - V_H\ \forall y \in V_H\ \{x,y\} \in E_G。換言すれば、ノードが存在するにおけるなくにおけるように、各ノードに接続されている。バツxxGGGHHHバツxxHHH 上記の2つの理由をルールとして見ることができます。それらを再帰的に適用することにより、クリークを含まない非着色可能グラフを作成する2つの方法は次のとおりです。k + …
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言語およびオートマトンの教科書、無料または低コスト？
私は次の学期に言語とオートマトンに関する標準的な学部のクラスを教えており、合法的な無料または低コストのテキストを使用することを好みます。助言がありますか？ 私はSipserのテキストが大好きですが、最新版の価格は196ドルです。これは、無料コースの時代には真っ直ぐな顔で言うのは難しいです。
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博士号を必要としない理論的コンピューターサイエンスのキャリアは何ですか？
私は学部生で、最近、理論的なコンピューターサイエンスの研究を行う知性を持っていないか、博士課程に入学して修了することができないという事実に同意しています。しかし、私は非常に興味深いと思うので、まだ理論的なコンピューターサイエンスに関与したいと思っています。これまでのところ、私が考えることができる博士号を必要としない理論的コンピュータサイエンスの唯一のキャリアは、いくつかの大学の理論グループの秘書または管理アシスタントになることです。他に何かありますか？
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線形比較による近似1d TSP？
1次元の巡回セールスマンパス問題は、明らかに、並べ替えと同じことなので、時間で比較することで正確に解決できますが、近似だけでなく正確にも定式化されますソリューションは理にかなっています。入力が実数であり、整数への丸めが可能な計算モデルでは、任意の定数について、時間因子内に近似するのは簡単です。：最小値と最大値を見つけ、元の値から距離以内の数値にすべてを丸めてから、基数ソートを使用します。しかし、丸めのあるモデルには複雑な理論があるため、計算の弱いモデルについてはどうでしょうか？O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n)1+O(n−c)1+O(n−c)1+O(n^{-c})cccO(n)O(n)O(n)(max−min)n−(c+1)(max−min)n−(c+1)(\max-\min)n^{-(c+1)} そのため、計算の線形比較ツリーモデル（各比較ノードは入力値の線形関数の符号をテスト）で、時間の複雑度がo（n \ logであるアルゴリズムによって、1次元TSPをどれだけ正確に近似できるかn）o(nlogn)o(nlog⁡n)o(n\log n)？同じ丸め方法により、n ^ {1-o（1）}の形式の近似比をn1−o(1)n1−o(1)n^{1-o(1)}実現できます（バイナリ検索を使用して丸めを行い、より粗く丸めて十分に高速化する）。しかし、いくつかの\ epsilon&gt; 0に対してO（n ^ {1- \ epsilon}）のような近似比を達成することは可能ですか？O(n1−ϵ)O(n1−ϵ)O(n^{1-\epsilon})ϵ&gt;0ϵ&gt;0\epsilon>0
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回路の下限とコルモゴロフの複雑さ
次の理由を考慮してください。 してみましょう示すコルモゴロフ複雑性の文字列の。 チャイティンの不完全性定理によるとxK(x)K(x)K(x)xxx 一貫性があり十分に強い形式システム場合、定数（形式システムとその言語のみに依存）が存在するため、文字列、 は証明できません。Tは、xはS K （X ）≥ TをSSSTTTxxxSSSK(x)≥TK(x)≥TK(x) \geq T してみましょうのブール関数であるそのスペクトルのコルモゴロフ複雑性が最大である変数ST。してみましょうの回路の複雑さもすなわち、最小限の回路計算のサイズ、。 n k S （f n）f n f nfnfnf_nnnnkkkS(fn)S(fn)S(f_n)fnfnf_nfnfnf_n の（大まかな）上限 は、定数は であり、はビジービーバー関数です（可能な最大ステップは停止しますサイズ記述のあるチューリングマシンが実行できます）。（スペクトルのごとに、対応する真理値割り当ての最小項を構築し、これらすべての最小項のORを一緒に取ります。）S （F N）≤ C ⋅ B B （K ）⋅ N C B B （K ）K 1S(fn)S(fn)S(f_n)S(fn)≤c⋅BB(k)⋅nS(fn)≤c⋅BB(k)⋅nS(f_n)\leq c\cdot BB(k) \cdot ncccBB(k)BB(k)BB(k)kkk111 ここで、ブール関数無限ファミリーについて 、が超線形サイズの回路を必要とするという正式な証明がある とします。 LL={fn}nL={fn}nL = \{f_n\}_{n}LLL G （N …
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固定グラフ上のクリーク問題
知っているように、クリーク関数は、完全な頂点グラフ（スパニング）サブグラフを取り、が -cliqueを含む場合にを出力します。この場合の変数はエッジに対応します。場合、この関数は約サイズの単調な回路を必要とすることがわかっています（Razborov、Alon-Boppana）。 C L I Q U E （N 、K ）G ⊆ K N N K N 1 G K K N 3 ≤ K ≤ N / 2 N KkkkCL IQ UE（n 、k ）CLIQUE(n,k)CLIQUE(n,k)G ⊆ KnG⊆KnG\subseteq K_nnnnKnKnK_n111GGGkkkKnKnK_n3 ≤ K ≤ N / 23≤k≤n/23\leq k\leq n/2nknkn^k しかし、我々は取る場合は、1つの固定グラフ、及び単調ブール関数考えるかかり、サブセット頂点、および出力の一部IFFの頂点フォームAクリーク。この場合の対応の変数頂点の、および機能は、ちょうど標準クリーク関数だけに制限されているスパニング一方のサブグラフ固定グラフ。 C L I …
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近似アルゴリズムの理論的応用
最近、NP困難問題の近似アルゴリズムの調査を開始し、それらを研究する理論的理由について疑問に思っていました。（質問は炎症を起こすことを意図していません-私は単に好奇心が強いです）。 近似アルゴリズムの研究からいくつかの本当に美しい理論が出てきました-PCP定理と近似の硬さの間の関係、UGC予想、ゴーマン-ウィリアムソン近似アルゴリズムなど。 トラベリングセールスマン、非対称トラベリングセールスマン、その他のバリエーション、メカニズム設計のさまざまな問題（組み合わせオークションなど）の問題の近似アルゴリズムを研究するポイントについては疑問に思っていました。過去に、または彼ら自身のために純粋に研究されていますか？ 注：現実の世界では、近似アルゴリズムではなくヒューリスティックが適用されることを知っている限り、実用的なアプリケーションについては尋ねません。ヒューリスティックは、近似アルゴリズムを研究することによって得られる洞察によってほとんど通知されません。問題。
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ん
任意の妥当な複雑/暗号仮説（すなわち、多項式サイズ回路が準指数サイズを有することが可能アウトルールことがあるとε &lt; 1）境界深さは（D = O （1 ））回路？2O(nϵ)2O(nϵ)2^{O(n^\epsilon)}ϵ&lt;1ϵ&lt;1\epsilon<1d=O(1)d=O(1)d = O(1) 我々はによってすべての機能を計算することを知っている回路は、サイズによって計算することができる2 O （N ε）の深さDのすべてのための（（無限ファンにおいて、ゲートNOT使用AND、ORなど）回路0 &lt; εありますa dおよびdはO （1 / ϵ ）であると見なすことができます。NC1NC1\mathsf{NC^1}2O(nϵ)2O(nϵ)2^{O(n^\epsilon)}ddd0&lt;ϵ0&lt;ϵ0 <\epsilonddddddO(1/ϵ)O(1/ϵ)O(1/\epsilon) 質問は： 一般的な多項式サイズの回路にこのような回路が存在する可能性を低くする理由はありますか？
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AND＆OR回路はP完全ですか？
AND＆ORゲートは、2つの入力が与えられ、ANDおよびORを返すゲートです。回路はファンアウトなしでAND＆ORゲートからのみ作成され、任意の計算を実行できますか？より正確には、多項式時間計算の対数空間はAND＆OR回路で還元可能ですか？ この問題に対する私の動機はかなり奇妙です。ここで説明したように、この質問はコンピューターゲームDwarf Fortress内の計算にとって重要です。
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カテゴリー理論的観点からの通常言語
アルファベット超える通常の言語は、自然にポーズ、そして実際には格子と考えることができることに気付きました。さらに、空の言語との連結は、このカテゴリの厳密なモノイド構造を定義します。これは、結合よりも分配的です（満たすかどうかはわかりません）。これは、通常の言語の理論または実践において有用な構成体ですか？たとえば、Kleeneの星を1つとして定義できますか？ΣΣ\Sigmaϵϵ\epsilon これはCourseraのコンパイラコースで質問された質問のコピーです：https ://class.coursera.org/compilers/forum/thread ? thread_id=311
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