ADT、GADT、および誘導型の違いは何ですか？

誰でも次の違いを説明できるかもしれません：

代数データ型（私はかなりよく知っています）
一般化された代数データ型（それらを一般化する理由）
誘導型（例：Coq）

（特に誘導型。）ありがとう。

— 忍者
ソース

回答:

代数データ型を使用すると、型を再帰的に定義できます。具体的には、データ型があるとします

d a t a l i s t = N i l | C o n s o f N \times l i s t

$\mathsf{data\;list = Nil \;\;|\;\; Cons\;of\;\mathbb{N} \times list}$

これは、がおよび演算子によって生成される最小セットであることを意味します。演算子定義することでこれを形式化できます $\mathsf{list}$ $\mathsf{Nil}$ $\mathsf{Cons}$ $F(X)$

F (X) == {N i l} \cup {C o n s (n, x) | n \in N \land x \in X}

$F(X) == \{ \mathsf{Nil} \} \cup \{ \mathsf{Cons}(n, x) \;|\; n \in \mathbb{N} \land x \in X \}$

そして、それから定義する $\mathsf{list}$ をします

l i s t = ⋃_{i \in N} F^{i} (\emptyset)

$\mathsf{list} = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} F^i(\emptyset)$

一般 ADTは、型定義するときに我々が得るものです演算子を再帰的に。たとえば、次の型コンストラクタを定義できます。

b u s h a = L e a f o f a | N e s t o f b u s h (a \times a)

$\mathsf{bush}\;a = \mathsf{Leaf\;of\;}a \;\;|\;\; \mathsf{Nest\;of\;bush}(a \times a)$

このタイプは、要素タプルである長さのSいくつかのため我々が入るたびので、コンストラクタ型引数がそれ自体と対になっています。したがって、固定小数点を取得する演算子を次のように定義できます。 $\mathsf{bush\;}a$ $a$ $2^n$ $n$ $\mathsf{Nest}$

F (R) = λ X . {L e a f (x) | x \in X} \cup {N e s t (v) | v \in R (X)}

$F(R) = \lambda X.\; \{ \mathsf{Leaf}(x) \;|\; x \in X\} \cup \{ \mathsf{Nest}(v) \;|\; v \in R(X) \}$

Coqの帰納型は、本質的にGADTであり、型演算子のインデックスは他の型に制限されません（たとえば、Haskellなど）が、型理論の値によってインデックスを付けることもできます。これにより、長さのインデックス付きリストのタイプなどを指定できます。

— ニール・クリシュナスワミ
ソース

ありがとうございました。しかし、それは「依存型」と完全に同義の「誘導型」を意味するのではないでしょうか？

— ninjagecko

@Neel：GADT bushと呼ばれるタイプを見たことはありません。ネスト型または非正規型と呼ばれるものを見てきました。

— jbapple

ネストされたタイプは、GADTの特殊なケースです。GADTの重要な特徴は、単純にそれがより高い種類の再帰的な定義であることです。（rhsへの変更は、基本的にコンストラクターのコンポーネントとして型の平等を追加するための構文上の砂糖です。）

— ニールクリシュナスワミ

@ninjagecko：「帰納的な型」は、コンストラクターの最小固定点としてセマンティクスが与えられた型です。すべてのタイプをこのように記述できるわけではありません（関数では記述できません。また、ストリームなどの無限のタイプでも記述できません）。依存型は、プログラム用語が出現することを許可する型を記述します（つまり、型は用語に「依存する」ことができます）。Coqは依存型理論であるため、Coqで定義できる帰納型も依存します。しかし、非依存型の理論は帰納型もサポートすることができ、それらの帰納型は依存しません。

— ニールクリシュナスワミ

@NeelKrishnaswami：タイプの「最初の数個の最小」要素を列挙することで答えを明確にするほど親切になりますbush aか？この例では、それであるNest Leaf(a) Leaf(a) Leaf(a) Leaf(a)、またはNest ((Nest Leaf(a) Leaf(a)) (Nest Leaf(a) Leaf(a)))セットの一例として？

— -ninjagecko

次のような代数データ型を検討してください。

data List a = Nil | Cons a (List a)

データ型の各コンストラクターの戻り値の型はすべて同じでNilあり、Cons両方とも戻りList aます。コンストラクターが異なる型を返すことを許可する場合、GADTがあります。

data Empty -- this is an empty data declaration; Empty has no constructors
data NonEmpty

data NullableList a t where
    Vacant :: NullableList a Empty
    Occupied :: a -> NullableList a b -> NullableList a NonEmpty

Occupiedタイプa -> NullableList a b -> NullableList a NonEmptyがありConsますが、タイプがありa -> List a -> List aます。NonEmpty用語ではなくタイプであることに注意することが重要です。もう一つの例：

data Zero
data Succ n

data SizedList a t where
    Alone :: SizedList a Zero
    WithFriends :: a -> SizedList a n -> SizedList a (Succ n)

依存型を持つプログラミング言語の帰納型により、コンストラクターの戻り値の型は、引数の値（型だけでなく）に依存することができます。

Inductive Parity := Even | Odd.

Definition flipParity (x:Parity) : Parity :=
  match x with
    | Even => Odd
    | Odd => Even
  end.

Fixpoint getParity (x:nat) : Parity :=
  match x with
    | 0 => Even
    | S n => flipParity (getParity n)
  end.

(*
A ParityNatList (Some P) is a list in which each member
is a natural number with parity P.
*)

Inductive ParityNatList : option Parity -> Type :=
  Nil : forall P, ParityNatList P
| Cons : forall (x:nat) (P:option Parity), 
  ParityNatList P -> ParityNatList 
  (match P, getParity x with
     | Some Even, Even => Some Even
     | Some Odd, Odd => Some Odd
     | _, _ => None
   end).

サイドノート：GHCには、値コンストラクターを型コンストラクターとして扱うメカニズムがあります。これは、Coqの依存する帰納的タイプとは異なりますが、GADTの構文上の負担をいくらか軽減し、エラーメッセージを改善することができます。

— jbapple
ソース

ありがとうございました。「依存型を持つプログラミング言語の誘導型」誘導型は、依存型のない言語ではどのように見えますか。また、非誘導（ただしGADTのような）依存型を持つことはできますか？

— ninjagecko