カテゴリー理論的観点からの通常言語

アルファベット超える通常の言語は、自然にポーズ、そして実際には格子と考えることができることに気付きました。さらに、空の言語との連結は、このカテゴリの厳密なモノイド構造を定義します。これは、結合よりも分配的です（満たすかどうかはわかりません）。これは、通常の言語の理論または実践において有用な構成体ですか？たとえば、Kleeneの星を1つとして定義できますか？$\Sigma$$\epsilon$

これはCourseraのコンパイラコースで質問された質問のコピーです：https ://class.coursera.org/compilers/forum/thread ? thread_id=311

カテゴリ理論を通常の言語とオートマトンに適用して、多くのことが行われました。1つの出発点は、最近の論文です。

• 決定論的オートマトン、正規表現、および バートジェイコブスによる言語の双曲線レビュー
• James Worthingtonによるオートマトンおよび形式言語理論への双曲型アプローチ。

これらの論文の最初では、正規表現の構造は代数的に扱われ、生成された言語は代数的に扱われます。これらの2つのビューは、双代数の設定に統合されています。双代数は、構文用語（正規表現）と計算動作（生成された言語）の相互作用を捉えた適切な分布則を持つ代数と補数のペアです。この論文の基礎は、数学（グループなど）で見られるものではなく、普遍代数と石炭代数の傘の下でコンピューターサイエンスで扱われている代数と石炭代数です。

2番目の論文では、代数（モジュールなど）と代数のより伝統的な数学的処理に由来する技術を使用していますが、詳細がわからないのではないかと心配しています。

私が知る限り、どちらもKleene starを付属物として扱いません。

より一般的には、正規表現の代わりにカテゴリ理論をオートマトンに適用する多くの作業があります。この作業のサンプルには以下が含まれます。

• Bloom SL; サバディーニN .; Walters RFC マトリックス、マシン、および動作。Applied Categorical Structures、Volume 4、Number 4、1996年12月、pp.343-360（18）

• Michael A. Arbib、Ernest G. Manes：オートマトンとシステムに関するカテゴリー主義者の見解。計算と制御に適用されるカテゴリ理論1974：51-64

• MA ArbibおよびEG Manes。結合マシン、状態動作マシン、および二重性。Journal of Pure and Applied Algebra、6：313-344、1975。

• MA ArbibおよびEG Manes。カテゴリ内のマシン。Journal of Pure and Applied Algebra、19：9-20、1980。
• コメントで指摘されているように、 JiríAdámekとVeraTrnkováの本「 Automata and Algebras in Categories」。

最後に、反復理論、反復理論に関する作業があります。StephenL. BloomとZoltánÉsikによる反復プロセスの等式論理で、反復に焦点を当てています（たとえば、Kleene star）。理論に該当することの1つ。

実際、あなたが探しているのはクリーネ代数だと思います。Dexter Kozenの古典的な記事を参照してください。彼はKleene-starの公理化を与える。これがあなたが興味を持っている最初のステップだと思います。

クリーネ代数と通常のイベントの代数の完全性定理。 情報と計算、110（2）：366-390、1994年5月。

この記事ではカテゴリ理論は使用しませんが、Kleene代数の等式公理化を行います。その構造には通常の言語の構造が含まれます。テスト付きのKleene代数は、ループと条件付き（ただし割り当てなし）の単純なプログラムをモデル化する正規表現の拡張と見なすことができます。この拡張は、純粋な代数的方法でそのような単純なプログラムについて推論するのに役立ちます。

テスト付きのクリーネ代数の代数的理論について テクニカルレポート。コーネル大学、2008年3月。

ご覧のとおり、通常の言語は追加の構造を持つブール代数を形成します。この構造は、ニックピッペンガーによって石の双対性の観点から研究されています。

通常の言語と石の二元性。ニコラス・ピッペンガー。Theory Computing Systems、1997：121-134。

言語認識への二重性アプローチは最近脚光を浴びており、言語認識に関する新しい結果を導き出すために適用されています。

正規言語の双対性および等式理論。M.ゲールケ、S。グリゴリエフ、J.-E。ピン。

カテゴリー理論ゴーグルを使用して世界を見ることは分類と呼ばれます。時にはそれは本当に素晴らしく驚くべき結果を生みます。物理学者は、グループを単一要素の類人猿と考えると本当に大きな違いを。モノイドを1要素のカテゴリーと考えると、多くのことが簡単になることを実感し始めています。（たとえば、モノイドアクションはSetへのファンクターになります。このようなものはデカルトで閉じたカテゴリとトポーズを形成します。したがって、ラムダ計算と直感的なロジックもあります！）

通常の言語を分類します。私はそれが行われたかどうか、または行われ、面白くないことが分かったのか分かりません。私はそれについて書かれたものを見たことがありません。ただし、通常の言語の代数構造であるクリーネ代数は十分に興味深いものです。それらに関する膨大な量の文献があります。しかし、私の意見では、通常の言語と有限オートマトンの理論は、有限への早すぎるコミットメントに苦しんでいます。（有限グループは興味深く、重要ですが、「グループ」の定義が最初に有限性にコミットすることは望ましくありません。）したがって、有限性を捨てて、より一般的に構造を研究することは有用です。

現在進行中の最も興味深い研究は、ホアールによって定義された局所性ビモノイドと呼ばれる構造に関連しています。同時のKleene代数はそれらのインスタンスであることがわかりました。 局所性ビモノイドと並行性は、積極的な研究の方向です。