加算が乗算よりも速いという証拠はありますか？

乗算の時間計算量で知られている最高の上限は、マーティン・フーラーの限界であり、これは加算の線形時間計算量以上です。加算は本質的に乗算よりも簡単であるという証拠がありますか？ $n\log n2^{O(\log^* n)}$

cc.complexity-theory time-complexity

— フーマン
ソース

時間制限を修正しました。

— ジェフ

TCSの主要な未解決の問題

— vzn

数字の表現方法に依存します。数の乗算のログを扱う場合、その加算はより速くなります（パウとログが必要なため）

— ラチェットフリーク

いや

現在、整数乗算については、自明なよりも優れた無条件の下限は知られていません。ただし、条件付きの下限がいくつかあります。詳細については、MartinFürerの論文Faster Integer Multiplicationをご覧ください。 $\Omega(n)$

次のAndrejのコメントを編集します。追加は時間で実行できます。これに対して、乗算の既知の上限は（およそ）です。一方、乗算の自明でない下限は知られていないため、加算が乗算よりも速いという証拠はまだありません。（あまりにも）複雑性理論ではよくあることですが、私たちにはわかりません！ $\mathcal O(n)$ $\mathcal O(n\log n)$

— ブルーノ
ソース

この論文は、足し算が掛け算よりも速いということを否定していないように思えます。その証拠はまだないと仮定すべきですか？

— フーマン

ブルーノが言っているのは、明らかに、線形時間で加算を行うことはできますが、線形時間よりも速く加算することはできません（入力を確認する必要があるため）。したがって、加算が乗算より難しいことを示すことは、乗算を線形時間で実行できないことを示すことと同じことです。しかし、そのような証拠はありません。

— アンドレイバウアー

@andrej「乗算を示すのは加算より難しい」という意味ですか？ポスターは、質問の以前のバージョンでも混乱しました。また、言、そのような証拠は知られていない。これはまた、mathoverflowの良い候補のように思える「複雑性理論の中で最も『明白な』オープンの問題」

— vzn

@vznは、MOの質問であるIMOに対する素晴らしい答えです。

— サショニコロフ

@SashoNikolovよくわかりません。O（n）で乗算を行うのがそれほど衝撃的かどうかわかりません。確かに驚きですが、「自然に」O（n ^ 2）乗算の問題を線形時間まで単純化することはできないと信じるソート、フーリエ変換などの問題との類推による以外に、正当な理由はありません。

— スティーブン・スタドニッキ