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問題の（計算）複雑さに関する質問

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コンビナトリアルILPアルゴリズムの既知の最速の複雑さ？
整数線形計画法を解くための、Big表記法で最もよく知られているアルゴリズムは何ですか？OOO 私は問題が完全であることを知っているので、多項式を期待していません。そして、CPLEXのような実際のアプリケーションで使用される多くのヒューリスティックとそのようなものがあることは知っていますが、厳密なアルゴリズムの形式的な最悪の場合の複雑さにもっと興味があります。NPNPNP 一部の完全問題には、時間アルゴリズムがありますおよびは多項式です。頂点カバー、独立セット、および3SATはこのカテゴリに分類されますが、一般的なSATおよびTSPは（私たちが知る限り）分類されません。O （b n p （n ））1 &lt; b &lt; 2 pNPNPNPO （bnp （n ））O（bnp（n））O(b^n p(n))1 &lt; b &lt; 21&lt;b&lt;21 < b < 2ppp 整数プログラミング、または特定のサブインスタンスについて、そのようなステートメントを作成できますか？ Quantifier Free Presburger Arithmeticに関連する問題の参照先があれば、それにも非常に興味があります。
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カープリプトンの定理の証明
本「計算の複雑さ：現代のアプローチ」（2009）で述べられているカープ-リプトンの定理の証明を理解しようとしています。 特に、この本は次のことを述べています。 カープリプトンの定理 もしNP 次に、PH。⊆⊆\subseteq P∖polyP∖polyP_{\backslash poly} = Σ P 2 =Σp2=Σ2p= \Sigma^p_2 証明： 定理5.4により、PH を示すには、を示すだけで十分です。特に、に -complete が含まれていることを示すだけで十分です。言語 SAT。 Π P 2 ⊆ Σ P 2 Σ P 2 Π P 2 Π 2=Σp2=Σ2p= \Sigma^p_2Πp2⊆Σp2Π2p⊆Σ2p\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2Σp2Σ2p\Sigma^p_2Πp2Π2p\Pi^p_2Π2Π2\Pi_2 定理5.4では、 すべてのについて、場合、PH =です。つまり、階層はi番目のレベルに崩壊します。Σ P I = Π P Ii≥1i≥1i \geq 1Σpi=ΠpiΣip=Πip\Sigma_i^p = \Pi_i^pΣpiΣip\Sigma_i^p が暗示していることを理解できていません。 …
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式の等価性のための効率的なアルゴリズムはありますか？
例：？xy+x+y=x+y(x+1)xy+x+y=x+y(x+1)xy+x+y=x+y(x+1) 式は普通の高校の代数からのものですが、逆数、減算、除算のない算術加算と乗算（例）に制限されています。文字は変数です。2+2=4;2.3=62+2=4;2.3=62+2=4; 2.3=6 役立つ場合は、以外の数値で表現可能な式を禁止できます。すなわち、でもでもでもない：111x2x2x^23x3x3x444 multilinear、以外の累乗：はOKですが、ではなく、aのように表現できるものではありません積和への完全展開。 111x+xy≡x1+x1y1x+xy≡x1+x1y1x+xy \equiv x^1+x^1y^1x2+x3y4x2+x3y4x^2+x^3y^4x(x+y)≡x2+yx(x+y)≡x2+yx(x+y) \equiv x^2+y all one、以外の係数はありません：はOKですが、ではなく、そのように表現できるものはありません -of-製品例 ; そして X + X Y ≡ 1 、X + 1 、X 、Y 2 、X + 3 、X 、Y 、A （X + Y ）+ X （+のB ）≡ 2 A X + Y + B X111x+xy≡1.x+1.xyx+xy≡1.x+1.xyx+xy \equiv 1.x+1.xy2x+3xy2x+3xy2x+3xya(x+y)+x(a+b)≡2ax+ay+bxa(x+y)+x(a+b)≡2ax+ay+bxa(x+y)+x(a+b) …
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実数で確立された複雑度クラスはありますか？
最近、ある学生が私に彼らのためにNP硬度証明をチェックするように頼みました。彼らは以下の方針に沿って削減を行いました。 NP完全であることが知られているこの問題を私の問題（ポリタイム多対1削減）に還元するので、はNP困難です。P′P′P'PPPPPP 私の答えは基本的に： 以来からの値を持つインスタンスがある使用すると、削減をスキップすることができますので、それは自明チューリング計算可能ではありません。PPPRR\mathbb{R} 正式には真実ですが、このアプローチは洞察力があるとは思いません。実際に対処する際に直面する制限を無視して、実際に価値のある決定（または最適化）問題の「固有の複雑さ」をキャプチャできるようにしたい数字; これらの問題を調査するのはまた別の日です。 もちろん、「Subset Sumの個別バージョンはNP完全であるため、連続バージョンも「NP困難」である」と言うほど簡単ではありません。この場合、削減は簡単ですが、連続バージョンの方が有名な場合があります。たとえば、線形プログラミングと整数プログラミングの場合です。 RAMモデルは自然に実数に拡張されることが私には思いつきました。すべてのレジスタに実数を格納させ、それに応じて基本操作を拡張します。いずれにせよ、均一コストモデルは依然として理にかなっていますが、とにかく離散ケースの場合と同様に、対数モデルはそうではありません。 したがって、私の質問は次のように要約されます。現実価値の問題の複雑さの確立された概念はありますか？それらは「標準」離散クラスとどのように関係していますか？ Google検索では、たとえばthisなどの結果が得られますが、何が確立されているか、有用であるか、および何がそうでないかを伝える方法はありません。
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間隔内の2つの数値の最大XORを見つける：二次式よりも良いことはできますか？
lllrrr L ≤ I 、最大（I ⊕ J ）最大（私⊕j）\max{(i\oplus j)}L ≤ I 、J ≤ Rl≤私、j≤rl\le i,\,j\le r ナイーブアルゴリズムは、考えられるすべてのペアを単純にチェックします。たとえば、ルビーでは次のようになります。 def max_xor(l, r) max = 0 (l..r).each do |i| (i..r).each do |j| if (i ^ j &gt; max) max = i ^ j end end end max end 私感私たちはより良い次より行うことができます。この問題のためのより良いアルゴリズムはありますか？
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子猫の養子縁組問題の複雑さ
これは、配線長の最小化に関するこの質問に答えようとしているときに出てきました 。私はこれを「一夫多妻結婚」の問題と呼びましたが、インターネットは子猫です。わーい！ 人が採用する必要がある子猫があるとします。各子猫、、および各人には、コストます。すべての子猫を養子にするための総費用を最小限に抑えたいと思います。制約のセットもあります：各人は、子猫をまでしか採用できません。N M &gt; N i j c i j j u jMMMNNNM&gt;NM&gt;NM > Niiijjjcijcijc_{ij}jjjujuju_j 制約がなければ、問題は簡単です。各子猫人で行くれる最小です。制約があるため、この問題に対して効率的なアルゴリズムがありますか、それともNP困難ですか？j c i jiiijjjcijcijc_{ij}
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実行時の境界は、取るに足らないものに対して決定可能ですか？
問題入力長に関してランタイムがわかっている チューリングマシンが与えられた、のランタイムは？MMMO（g（n ））O（g（n））{O}(g(n))M ∈ O（F （N ））nnnM∈ O（F（n ））M∈O（f（n））M \in {O}(f(n)) 上記の問題はといくつかの非自明なペアに対して決定可能ですか？場合、解は自明です。F G （N ）∈ O （F （N ））gggfffg（N ）∈ O（F（n ））g（n）∈O（f（n））g(n) \in O(f(n)) これは、Pの実行時境界が決定可能かという問題に関連しています。（答え：いいえ）。一つは、から派生することができヴィオラの答えであればということと、問題は決定不能です。F （N ）∉ O （G （N ））f（N ）∉ O （N ）f（n）∉o（n）f(n)\not \in o(n)f（N ）∉ O （ G（n ））f（n）∉O（g（n））f(n)\not \in O(g(n)) という要件は、Violaの証明のが入力サイズを見つけるのに時間を必要とするためです。したがって、場合、Violaの証明は機能しません。M ' O （N ）F （N …
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DFAの最小化がそうでないのに、なぜNFAの最小化は難しい問題なのですか？
同等の状態を見つけてマージすることでDFAを最小化できることは知っていますが、なぜNFAでも同じことができないのですか？証拠が理解しやすい場合を除き、証拠などを探していません。DFAの最小化が難しいのに、なぜNFAの最小化が難しいのかを直感的に理解したいだけです。
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並列計算とクラスNCに関するいくつかの質問
これらの2つのトピックに関するいくつかの関連する質問があります。 まず、ほとんどの複雑なテキストは、クラスのみを光沢化します。研究をより深くカバーする優れたリソースはありますか？たとえば、以下の私の質問のすべてを議論するもの。また、は並列化にリンクしているため、かなりの量の研究が行われていると想定していますが、間違っている可能性があります。複雑な動物園のセクションはあまり役に立ちません。N CN CNC\mathbb{NC}N CNC\mathbb{NC} 第二に、セミグループ操作に一定の時間がかかると仮定した場合、セミグループの計算はます。しかし、無制限の整数の場合のように、操作に一定の時間がかからない場合はどうでしょうか？既知の -complete問題はありますか？N C iN C1NC1\mathbb{NC}^1N C私NCi\mathbb{NC}^i 3番目に、、ログスペースアルゴリズムを並列バージョンに変換するアルゴリズムはありますか？L ⊆ N C2L⊆NC2\mathbb{L} \subseteq \mathbb{NC}^2 第四に、ほとんどの人はと同じ方法でを仮定しているように聞こえます。この背後にある直感は何ですか？P ≠ N PN C ≠ PNC≠P\mathbb{NC} \ne \mathbb{P}P ≠ N PP≠NP\mathbb{P} \ne \mathbb{NP} 5番目に、私が読んだすべてのテキストはクラスに言及していますが、それに含まれる問題の例は示していません。いずれかがあります？R N CRNC\mathbb{RNC} 最後に、この回答はサブリニアパラレル実行時間に関する問題に言及しています。これらの問題の例は何ですか？ないことが知られている並列アルゴリズムを含む他の複雑度クラスはありますか？N CPP\mathbb{P}N CNC\mathbb{NC}
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欠落要素の問題に対する時間と空間のトレードオフ
これはよく知られた問題です。 正の整数の配列が与えられた場合、配列にない最小の正の整数を出力します。A[1…n]A[1…n]A[1\dots n] この問題は、空間と時間で解決できます。配列を読み取り、発生したかどうかを空間で追跡し、最小要素をスキャンします。O(n)O(n)O(n)O(n)O(n)O(n)1,2,…,n+11,2,…,n+11,2,\dots,n+1 スペースを時間と交換できることに気付きました。あなたが持っている場合はのみメモリを、あなたはそれを行うことができますラウンドと時間を得る。特別な場合には、明らかに一定空間の二次時間アルゴリズムがあります。O(nk)O(nk)O(\frac{n}{k})kkkO(kn)O(kn)O(k n) 私の質問は： これは最適なトレードオフですか、つまりですか？一般に、そのようなタイプの境界をどのように証明しますか？time⋅space=Ω(n2)time⋅space=Ω(n2)\operatorname{time} \cdot \operatorname{space} = \Omega(n^2) O（1）の配列への境界演算とランダムアクセスを備えたRAMモデルを想定します。 この問題のインスピレーション：ワンテープモデルのパリンドロームの時間と空間のトレードオフ（たとえば、こちらを参照）。
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すべてのNP問題には、ポリサイズのILP製剤がありますか？
整数線形計画法はNP完全であるため、NPの問題からそれへのカープ削減があります。これは、NPの問題には常に多項式サイズのILP定式化があることを意味すると考えました。 しかし、「これが最初のポリサイズ製剤」または「既知のポリサイズ製剤はない」などのことを書く特定のNP問題に関する論文を見てきました。だから私は困惑しています。
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からへの直接削減
私たちは、知っているであるでImmerman-Szelepcsényi定理定理とするのであるしたがって、は還元可能な多対数のログスペースです。しかし、チューリングマシンの構成グラフを通過しない直接/組み合わせの削減はありますか？N Lst-non-connectivityst-non-connectivityst\text{-}non\text{-}connectivityNLNL\mathsf{NL}N L - h a r d s t - n o n - c o n n e c t i v i t y s t - c o n n e c t i v i t y N Ls t - c o n n …
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