実数で確立された複雑度クラスはありますか？

最近、ある学生が私に彼らのためにNP硬度証明をチェックするように頼みました。彼らは以下の方針に沿って削減を行いました。

NP完全であることが知られているこの問題を私の問題（ポリタイム多対1削減）に還元するので、はNP困難です。$P'$$P$$P$

私の答えは基本的に：

以来からの値を持つインスタンスがある使用すると、削減をスキップすることができますので、それは自明チューリング計算可能ではありません。$P$$\mathbb{R}$

正式には真実ですが、このアプローチは洞察力があるとは思いません。実際に対処する際に直面する制限を無視して、実際に価値のある決定（または最適化）問題の「固有の複雑さ」をキャプチャできるようにしたい数字; これらの問題を調査するのはまた別の日です。

もちろん、「Subset Sumの個別バージョンはNP完全であるため、連続バージョンも「NP困難」である」と言うほど簡単ではありません。この場合、削減は簡単ですが、連続バージョンの方が有名な場合があります。たとえば、線形プログラミングと整数プログラミングの場合です。

RAMモデルは自然に実数に拡張されることが私には思いつきました。すべてのレジスタに実数を格納させ、それに応じて基本操作を拡張します。いずれにせよ、均一コストモデルは依然として理にかなっていますが、とにかく離散ケースの場合と同様に、対数モデルはそうではありません。

したがって、私の質問は次のように要約されます。現実価値の問題の複雑さの確立された概念はありますか？それらは「標準」離散クラスとどのように関係していますか？

^{Google検索では、たとえばthisなどの結果が得られますが、何が確立されているか、有用であるか、および何がそうでないかを伝える方法はありません。}

はい。がある。

他の回答で言及されているリアルRAM / BSSモデルがあります。モデルにはいくつかの問題があり、知る限り、それに関する研究活動はあまりありません。おそらく、それは計算の現実的なモデルではありません。

実際の計算可能性のよりアクティブな概念は、より高い型の計算モデルの概念です。基本的な考え方は、より高い型の関数の複雑さを定義してから、より高い型の関数を使用して実数を表現することです。

高次型関数の複雑さの研究は、少なくとも[1]にまでさかのぼります。最近の作業については、川村章利の論文で実際のオペレーターの複雑さについて確認してください。

実関数の複雑さの古典的なリファレンスは、Ker-I Koの本[2]です。Klause Weihrauch [3]による最新の本の第6章では、実際の計算の複雑さについても説明しています（ただし、複雑さよりも計算可能性に焦点を当てています）。

• [1] Stephen CookおよびBruce Kapron、「有限型の基本的な実行可能関数の特性化」、1990年。

• [2] Ker-I Ko、「実関数の計算の複雑さ」、1991年。

• [3] Klaus Weihrauchの「Computable Analysis」、2000年。

説明するモデルは、Blum-Shub-Smale（BSS）モデル（Real RAMモデル）として知られ、実際に複雑度クラスを定義するために使用されます。

このドメインの興味深い問題には、クラス、N P R、そしてもちろんP R = N P Rかどうかの問題があります。P R我々は、問題が多項式決定可能であることを意味N P Rは、問題が多項式検証可能です。クラスN P Rには硬度/完全性の質問があります。N P R完全問題の例は、Q P S（二次多項式システム）の問題です。ここで、入力は次の実多項式です。$P_R$$NP_R$$P_R$$NP_R$$P_R$$NP_R$$NP_R$$NP_R$$QPS$変数、及び P 1、。。。、P N ⊆ R [ X 1、。。。、x n ]の次数は最大2、各多項式の変数は最大3です。一般的な真の溶液が存在するか否かを質問 R nは、その結果 P 1（）、P 2（A ）、。。。p n（a ）= $m$$p_1, ..., p_n$ $\subseteq$ $R[x_1, ..., x_n]$$R^n$$p_1(a), p_2(a), ... p_n(a) = 0$。これは完全な問題です。$NP_R$

しかし、より興味深いことに、実数上の（Probalistically Checkable Proofs）、つまりクラスP C P Rと、それが代数的計算モデルとどのように関係するかとの関係に関するいくつかの研究がありました。BSSモデルは、実数でN Pのすべてにパンします。これは文献の標準であり、今日わかっていることは、N P Rには「透明な長い証明」と「透明な短い証明」があることです。「トランスペアレントロングプルーフ」により、次のことが暗示されます。N P RはP C P R（p o l $PCP$$PCP_R$$NP$$NP_R$$NP_R$。「ほぼ（近似）ショートバージョン」も当てはまるという拡張機能もあります。nよりもはるかに少ない（実際の）コンポーネントを検査することで、証明を安定させ、障害を検出できますか？これは、直線プログラムによって与えられた（システムの）単変量多項式のゼロの存在についての質問につながります。また、「透明な長い証明」とは$PCP_R(poly, O(1))$$n$

1. 「透明」- 読み取り専用、$O(1)$

2. long-実数成分の超多項式数。

$3SAT$$FP$$NP_R$$NP_R$ $=$ $co\text{-}NP_R$

$NP_R$$\#P$$f$$\{0,1\}^\infty$ $\rightarrow$ $\mathbb{N}$$M$$p$$\forall n$$\in$$\mathbb{N}$$x$$\in$$\{0,1\}^{n}$$f(x)$$y \in$$\{0,1\}^{p(n)}$$M$$\{x,y\}$$\# P$$\#P_{add}$ このクラスは、ベッティ数の研究、およびオイラー特性の研究に役立ちます。