カープリプトンの定理の証明

本「計算の複雑さ：現代のアプローチ」（2009）で述べられているカープ-リプトンの定理の証明を理解しようとしています。

特に、この本は次のことを述べています。

カープリプトンの定理

もしNP 次に、PH。$\subseteq$ $P_{\backslash poly}$ = Σ P 2 $= \Sigma^p_2$

証明： 定理5.4により、PH を示すには、を示すだけで十分です。特に、に -complete が含まれていることを示すだけで十分です。言語 SAT。 Π P 2 ⊆ Σ P 2 Σ P 2 Π P 2 Π $= \Sigma^p_2$$\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$$\Sigma^p_2$$\Pi^p_2$$\Pi_2$

定理5.4では、

すべてのについて、場合、PH =です。つまり、階層はi番目のレベルに崩壊します。Σ P I = Π P $i \geq 1$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$$\Sigma_i^p$

が暗示していることを理解できていません。 Σ P 2 = Π P $\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$$\Sigma_2^p = \Pi_2^p$

より一般的な質問として、これはすべてのに。つまり、は、すべてのを意味しますか？$i$$\Pi^p_i\subseteq \Sigma^p_i$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$$i \geq 1$

リコールそれは IFF ˉ L ∈ ΠのP I。その今と仮定Σ P I ⊆ Π P I、と聞かせてL ∈ Π P I。その後ˉ L ∈ ΣのP Iとそうˉ L ∈ ΠのP I暗示仮定することにより、そのL ∈ ΣのP I。言い換えれば、Π P I ⊆ Σ $L \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$\Sigma_i^p \subseteq \Pi_i^p$$L \in \Pi_i^p$$\bar{L} \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$L \in \Sigma_i^p$、およびのでΣ P I =Π P I。$\Pi_i^p \subseteq \Sigma_i^p$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$

ここに理由です IFF ˉ L ∈ Π P 私は。具体的には、i = 3を取ります。定義により、L ∈ Σ P 3であれば、いくつかのP-時間述語のためのT、 X ∈ L ⇔ ∃ | y | < | x | O （1 ） ∀ | z | < | x | O （1 ）$L \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$i = 3$$L \in \Sigma_3^p$$T$ 同様 ˉ L ∈ ΠのP 3であれば、いくつかのP-時間述語用の S、 X ∈ ˉ L ⇔ ∀ | y | < | x | O （1 ） ∃ | z | < | x |

$$x \in L \Leftrightarrow \exists |y| < |x|^{O(1)} \forall |z| < |x|^{O(1)} \exists |w| < |x|^{O(1)} T(x,y,z,w).$$ $\bar{L} \in \Pi_3^p$$S$ しかしながら、これらの2つのステートメントは共にPが（取る相補性の下では閉じているという事実と、ド・モルガンの法則番組の簡単な呼び出しとして、等価であるSを=¬Tを）。 $$x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall |y| < |x|^{O(1)} \exists |z| < |x|^{O(1)} \forall |w| < |x|^{O(1)} S(x,y,z,w).$$ $S = \lnot T$