タグ付けされた質問 「linear-programming」

線形等式および線形不等式制約の対象となる線形目的関数を使用した最適化。

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ゼロ1整数線形計画法（ILP）でブール論理演算を表現する
ブール値を表すための変数を備えた整数線形プログラム（ILP）があります。さんは整数であると保持するために制限されている0または1（）。xixix_ixixix_i0≤xi≤10≤xi≤10 \le x_i \le 1 線形制約を使用して、これらの0/1値の変数に対するブール演算を表現したいと思います。これどうやってするの？ 具体的には、（ブールAND）、（ブールOR）、および（ブールNOT）に設定します。ブール値として0/1の明白な解釈を使用しています：0 = false、1 = true。が必要に応じて関連付けられるようにILP制約を記述する方法を教えてください。y1=x1∧x2y1=x1∧x2y_1 = x_1 \land x_2y2=x1∨x2y2=x1∨x2y_2 = x_1 \lor x_2y3=¬x1y3=¬x1y_3 = \neg x_1yiyiy_ixixix_i （これは、CircuitSATからILPへの削減を要求する、またはSATをILPとして表現する方法を要求するものと見なすことができますが、ここでは、上記の論理演算をエンコードする明示的な方法を確認します。）
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線形プログラムとしてソートする
驚くほど多くの問題が、線形計画法（LP）をかなり自然に削減しています。ネットワークフロー、2者間マッチング、ゼロサムゲーム、最短パス、線形回帰、および回路評価などの例については、[1]の第7章を参照してください。 回路評価は線形計画法に帰着するため、問題には線形計画法の定式化が必要です。したがって、線形プログラムへの還元を介した「新しい」ソートアルゴリズムがあります。だから、私の質問はPPP 実数の配列をソートする線形プログラムとは何ですか？nnn LPへの還元と解決のソートアルゴリズムの実行時間は？ S. Dasgupta、C。Papadimitriou、U。Vaziraniによるアルゴリズム（2006）
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すべてのNP問題には、ポリサイズのILP製剤がありますか？
整数線形計画法はNP完全であるため、NPの問題からそれへのカープ削減があります。これは、NPの問題には常に多項式サイズのILP定式化があることを意味すると考えました。 しかし、「これが最初のポリサイズ製剤」または「既知のポリサイズ製剤はない」などのことを書く特定のNP問題に関する論文を見てきました。だから私は困惑しています。
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線形計画法は強力な多項式時間アルゴリズムを許可しますか？
線形計画問題：与えられた行列A∈Rm×nおよびb∈Rmに対して、Ax≥bのx∈Rnが存在するかどうかを決定する、強多項式時間アルゴリズムを見つけます。 Steve Smaleが数学の未解決の問題をいくつか挙げていることは知っています。しかし、そのような線形計画問題は、今まで解決できないのでしょうか？
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ベクトルの合計の最大成分を最小化
この最適化問題について何か学びたい：負でない整数ai,j,kai,j,ka_{i,j,k}について、式を最小化する関数見つけるfff maxk∑iai,f(i),kmaxk∑iai,f(i),k\max_k \sum_i a_{i,f(i),k} 別の定式化を使用した例では、より明確になる場合があります。次のような一連のベクトルのセットが与えられます。 { {(3, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 2, 0, 0)}, {(0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0)}, {(0, 0, 0, 2, 0), (0, 1, 0, 1, 0)} } 各セットから1つのベクトルを選択して、それらの合計の最大成分が最小になるようにします。たとえば、 (1, 0, 2, 0, 0) + (0, 1, 0, 0, 0) + …
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内点法を使用して線形計画法の正確なコーナーソリューションを見つける
シンプレックスアルゴリズムは、ポリトープの角を貪欲に歩いて、線形計画問題の最適解を見つけます。その結果、答えは常にポリトープの隅になります。内点法はポリトープの内部を歩きます。その結果、ポリトープの平面全体が最適である場合（目的関数が平面に正確に平行である場合）、この平面の中央で解を得ることができます。 代わりにポリトープのコーナーを見つけたいとしましょう。たとえば、線形プログラミングに削減することで最大マッチングを行いたい場合、「マッチングにはエッジXYの0.34％とエッジABの0.89％が含まれ、...」という回答は必要ありません。私たちは0と1で答えを得たいと思っています（すべてのコーナーが0と1で構成されているので、シンプレックスは私たちに与えるでしょう）。多項式時間で正確なコーナーの解を見つけることを保証する内点法でこれを行う方法はありますか？（たとえば、コーナーを優先するように目的関数を変更できます）
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整数線形計画法の場合、ブールにキャスト
次の制約を整数線形プログラムで表現したいと思います。 y={01if x=0if x≠0.y={0if x=01if x≠0.y = \begin{cases} 0 &\text{if } x=0\\ 1 &\text{if } x\ne 0. \end{cases} 私はすでに整数変数を持っていますが、ことが約束されています。上記の制約を整数線形計画法ソルバーでの使用に適した形式でどのように表現できますか？- 100 ≤ X ≤ 100x,yx,yx,y−100≤x≤100−100≤x≤100-100 \le x \le 100 これはおそらくいくつかの追加の変数を導入する必要があります。追加する必要がある新しい変数と制約は何ですか？1つの新しい変数できれいに実行できますか？二？ 同様に、これは制約を強制する方法を尋ねています y≠ 0 の場合に限り 、X ≠ 0。y≠0 if and only if x≠0.y \ne 0 \text{ if and only if } x …
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すべての整数線形計画法の問題はNPハードですか？
私が理解しているように、ハンガリーのアルゴリズムは多項式時間-O（n 3）で解決できるため、割り当て問題はPにあります。また、割り当ての問題は整数線形計画法の問題であることも理解していますが、ウィキペディアのページではこれがNP困難であると述べています。私にとって、これは割り当ての問題がNP-Hardにあることを意味します。 しかし、割り当ての問題はPとNPハードの両方に存在することはできません。そうでない場合、PはNPに等しくなりますか？ウィキペディアのページは、すべてのILP問題を解決するための一般的なアルゴリズムがNPハードであることを単に意味しているのですか？他のいくつかの出典では、ILPはNP-Hardであると述べているため、これは一般的に複雑性クラスについての私の理解を本当に混乱させています。
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線形計画法の強力な双対定理の短くて滑らかな証明
線形計画を考える Primal:Ax⃗ ≤b⃗ maxc⃗ Tx⃗ Primal:Ax→≤b→maxc→Tx→\begin{array}{|ccc|} \hline Primal: & A\vec{x} \leq \vec{b} \hspace{.5cm} & \max \vec{c}^T\vec{x} \\ \hline \end{array} Dual:c⃗ ≤y⃗ TAminy⃗ Tb⃗ Dual:c→≤y→TAminy→Tb→\begin{array}{|ccc|} \hline Dual: & \vec{c} \leq \vec{y}^TA \hspace{.5cm} & \min \vec{y}^T\vec{b} \\ \hline \end{array} 弱い双対定理は、とが制約を満たす場合、 あると述べています。線形代数を使用した簡潔で洗練された証明があります： 。x⃗ x→\vec{x}y⃗ y→\vec{y}c⃗ Tx⃗ ≤y⃗ Tb⃗ c→Tx→≤y→Tb→\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}c⃗ Tx⃗ ≤y⃗ …
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線形計画法またはその他の最適化手法を使用して、最大限に異なるソリューションのセットを見つける
従来、線形計画法は、一連の制約、変数、および目標（すべて線形関係として記述されています）に対する1つの最適な解を見つけるために使用されます。時々、目的が制約に平行であるとき、無限または多くの等しく良い最適解があります。この後者のケースについては質問していません。 私は、私の一連の制約によって生成された実行可能領域にある多くのソリューションを見つけることにもっと興味があります。しかし、私が見つけた解は、それらが互いに最大限に離れているという意味で、実行可能領域の周りに「散在」していることを望みます。ソルバーを複数回実行せずに、複数のソリューションを生成し、目的関数を使用してソリューションを分離することを強制する既知の方法はありますか？ たとえば、決定がaおよびbで制約がw <= a <= xおよびy <= b <= zの線形計画は、2つの解を見つけるために「複製」できます。新しい線形プログラムには、変数a1、a2、b1、およびb2と、制約w <= a1 <= xおよびw <= a2 <= xがあり、b1、b2についても同様です。ただし、目的関数を作成する場合、線形性を破棄せずにL1ノルム以外のノルムを使用できず、L1ノルムを使用することは不可能であるため（本当に私が知る限り） ）絶対値をエンコードします。 たぶん、凸最適化や半確定プログラミングなどを検討する必要がありますか？ 線形プログラムに対する一連のソリューションを生成し、ソリューション間の「距離」を強制する目的を使用する既知の方法はありますか？
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巡回セールスマン問題ポリトープの既知の側面
ブランチアンドカット法では、問題によって生成されるポリトープの多くの側面を知ることが不可欠です。ただし、ポリトープのサイズが急速に大きくなるにつれて、そのようなポリトープのすべてのファセットを実際に計算することは、現在、最も難しい問題の1つです。 任意の最適化問題の場合、ブランチアンドカットまたはカットプレーンメソッドによって使用されるポリトープは、すべての実行可能な頂点の凸包です。頂点は、モデルのすべての変数の割り当てです。（非常に単純な）例として：一方が最大になる場合2 ⋅ X + Y2⋅バツ+y2\cdot x+y ST x + y≤ 1バツ+y≤1x+y \leq 1と0 ≤ X 、Y≤ 1.50≤バツ、y≤1.50\leq x,y\leq 1.5次に頂点（0 、0 ）（0、0）(0,0)、（0 、1 ）（0、1）(0,1)と（1 、0 ）（1、0）(1,0)実行可能な頂点です。（1 、1 ）（1、1）(1,1)の不等式違反したがって、実現可能ではありません。（組み合わせ）最適化の問題は、実行可能な頂点の中から選択することです。（この場合、明らかにが最適です）。これらの頂点の凸包は、まさにこれら3つの頂点を持つ三角形です。この単純なポリトープのファセットは、、およびx + y \ leq 1です。ファセットを介した説明は、モデルよりも正確であることに注意してください。TSPなどのほとんどの難しい問題では、ファセットの数がモデルの不等式の数を数桁超えます。（1 、0 ）のx ≥ 0 、Y ≥ 0 、X + Y ≤ 1x + y≤ 1.5バツ+y≤1.5x+y\leq 1.5（1 、0 …
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整数線形計画法（ILP）問題のすべての解決策を見つける
私の問題は、ILPのすべての整数解を見つけることです。例として、2つの変数を持つILPを使用していますが、3つ以上の変数がある場合があります。この問題を最後に解決するために現在使用している方法について説明しますが、この種の問題を解決するための適切で効率的なアルゴリズムまたは方法があるかどうかを知りたいです。 目的関数はありませんが、このILPの制約は 0≤−2x−y≤80≤1−x+3y≤50≤2+x−y≤2x,y∈Z0≤−2x−y≤80≤1−x+3y≤50≤2+x−y≤2x,y∈Z \begin{equation} 0 \leq -2x -y \leq 8 \\ 0 \leq 1-x+3y \leq 5 \\ 0 \leq 2+x-y \leq 2 \\ x,y \in \mathbb{Z} \end{equation} このILPには2つの変数があるため、制約によって形成される線をグラフ化することで、ソリューション領域を視覚的に検査できます。 yyyyyy≤−2x≥−2x−8≥13x−13≤13x+43≤x+2≥xy≤−2xy≥−2x−8y≥13x−13y≤13x+43y≤x+2y≥x \begin{align} y &\leq -2x \\ y &\geq -2x-8 \\ y &\geq \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} \\ y &\leq \frac{1}{3}x + \frac{4}{3} \\ …
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線形計画法を正の線形計画法に減らす
次の形式の問題を解決するオラクルがあるとします maximize subject to cTxAx=b,x≥0maximize cTxsubject to Ax=b,x≥0\begin{align*} \text{maximize} ~~ & c^T x \\ \text{subject to} ~~ & A x = b, x\geq 0 \end{align*} （最大化対象内のすべての係数は非負です）。c≥0c≥0c\geq 0 一般的な線形プログラムを効率的に解くために使用できますか？ 失敗した試み＃1：で負の係数で表示される各変数を、別の変数置き換えます。残念ながら、このは非負性制約を満たしていません。xixix_icTxcTxc^T xyi:=−xiyi:=−xiy_i := - x_iyiyiy_i 失敗した試み＃2：すべての要素が正でないことを確認します（必要に応じて方程式に-1を掛けます）。次に、デュアルLPを作成します。bbb maximize subject to −bTyATy≥cmaximize −bTysubject to ATy≥c\begin{align*} \text{maximize} ~~ & - b^T y \\ \text{subject to} …
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nセットの2つのセットを指定：移動距離の合計を最小化
2セット S、TS、TS, T それぞれの んんn内のポイント、私は全単射を見つけたい、は最小化され、はユークリッド距離。RkRk\mathbb{R}^ka ：S→ Ta：S→Ta : S \rightarrow TΣS ∈ Sd（s 、a （s ））Σs∈Sd（s、a（s））\sum_{s \in S} d(s, a(s))ddd この輸送問題はアースムーバーの距離問題の特殊なケースであることは承知していますが、重み付けされていない（ポイントを超えている）ため、3次ハンガリー方式よりも効率的なアルゴリズムがあるかどうか疑問に思っています。
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入力（たとえば、変数の数）が固定されている場合、多項式時間で解けるNP完全問題？
NP困難であるが、固定次元で多項的に解決できるいくつかの問題を見てきました。 例としては、アイテムの数が固定されている場合に多項式で時間を解けるナップザックと、レンズトラによる固定数の変数または制約による整数線形計画法が結果として得られると思います。 質問： 次元が固定されている場合に多項式時間解決可能になるNPハード問題の他の例は何ですか？ これが当てはまらない問題はありますか？ これは、ナップザックなどのFPTAS /疑似多項式時間アルゴリズムを認める問題の場合に常に当てはまりますか？
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