線形計画法の強力な双対定理の短くて滑らかな証明

線形計画を考える

$$\begin{array}{|ccc|} \hline Primal: & A\vec{x} \leq \vec{b} \hspace{.5cm} & \max \vec{c}^T\vec{x} \\ \hline \end{array}$$ $$\begin{array}{|ccc|} \hline Dual: & \vec{c} \leq \vec{y}^TA \hspace{.5cm} & \min \vec{y}^T\vec{b} \\ \hline \end{array}$$

弱い双対定理は、とが制約を満たす場合、 あると述べています。線形代数を使用した簡潔で洗練された証明があります： 。$\vec{x}$$\vec{y}$$\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$$\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T A \vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$

強力な双対定理は、が原始の最適解である場合、双対の解であるがあり、 。$\vec{x}$$\vec{y}$$\vec{c}^T\vec{x} = \vec{y}^T\vec{b}$

強力な双対定理の同様に短くて滑らかな証明はありますか？

おそらく違います。これは、

Farkas Lemma：次の代替案の1つだけに解決策があります。

1. $Ax \le b$および$x \ge 0$
2. $y^TA\ge 0$および$y^Tb < 0$

ここで、原始の最適な客観的な値とします。してみましょう任意です。してみましょう ようにの追加と最後の行として。してみましょうであることをの追加と最後の値として。$\delta$$\epsilon > 0$$A'$$A$$-c^T$$b'$$b$$-\delta - \epsilon$

システムには解決策がありません。Farkasによって、次のようながあります。$A'x'\le b'$$y' = (y,\alpha)$

$y^TA\ge \alpha c$および 。$y^Tb < \alpha (\delta + \epsilon)$

場合、Farkasの他の代替手段になっていることに注意してください。したがって、です。$\epsilon = 0$$\alpha > 0$

なるようにスケーリングします。 は二重実現可能です。弱い双対性は、意味します。$y'$$\alpha = 1$$y$$\delta \le y^Tb < \delta + \epsilon$