nセットの2つのセットを指定：移動距離の合計を最小化

2セット $S, T$ それぞれの $n$ 内のポイント、私は全単射を見つけたい、は最小化され、はユークリッド距離。 $\mathbb{R}^k$ $a : S \rightarrow T$

\underset{s \in S}{Σ} d （ s 、 a （ s ） ）

$\sum_{s \in S} d(s, a(s))$

d

$d$

この輸送問題はアースムーバーの距離問題の特殊なケースであることは承知していますが、重み付けされていない（ポイントを超えている）ため、3次ハンガリー方式よりも効率的なアルゴリズムがあるかどうか疑問に思っています。

— ユーザー695652
ソース

ために

d = 1

$d=1$ 簡単な貪欲アルゴリズムがあります

O (n \log n)

$O(n \log n)$ 実行時間。多分それは考える価値があります

d = 2

$d=2$ 最も単純な興味深い（自明ではない）ケースとして。

— DW

疑わしい。私はこれを副問題として正確に解決する必要がある2014年の論文を読んでいて、彼らは

O (n^{3})

$O(n^3)$ ハンガリーのアルゴリズム。

— j_random_hacker

非常に特殊なケースとして：

d = 2

$d=2$ すべてのセットに凸包を構築できます

2 n

$2n$ ポイントイン

O (n \log n)

$O(n\log n)$ 時間、次に船体の周囲のエッジの2つの可能な交互パスのそれぞれの合計距離を計算します。これらのうち小さい方が有効なソリューションである場合は、最適である必要があります。（明らかに、これはポイントがすべて凸包上になければならないことよりもさらに強い要件です。これは既に非常に強い条件です...）

— j_random_hacker '26

あなたはそれを変更したいかもしれません

R^{k}

$\mathbb{R}^k$ またはあなたが使っているので何か

d

$d$ メトリックの場合

— MCT

問題の説明で述べたように、これは重みがユークリッド距離であることがわかっている割り当て問題（最小2部一致）です。

ハンガリーのアルゴリズム以降、少なくとも漸近的境界に関して、いくつかの改善がありました。グラフの正確なサイズに応じて、いくつかのアルゴリズムのいずれかが最適な場合があります。コーエン他の論文の表に詳細が記載されています。エドモンズとカープのアルゴリズムは $O(nm + n^2 log n)$ であり、グラフの最大重みに依存しない最良の境界です。Cohenのアルゴリズムはスパースグラフに最適であるように見えますが、これはあなたの状況ではありません。あなたの密なグラフに最適なのはサンコフスキーのものだと思います $\tilde{O} (W n^\omega)$ 、に依存しないため $m$ 。

この問題の特定の重み構造（ユークリッド距離）をさらに改善するために活用する方法があるかどうかはわかりません。

出典：

負の重みの最短経路と単位容量の最小コストフロー $\tilde{O}(m^{(10/7)} log W)$ 時間。マイケルB.コーエン、アレクサンダーマドリー、ピオトルサンコウスキー、エイドリアンヴラドゥ
https://arxiv.org/abs/1605.01717v3（プレプリント）

J.エドモンズとRMカープ。ネットワークフロー問題のアルゴリズム効率の理論的改善。J. ACM、19（2）：248–264、1972。

ピョートル・サンコウスキー。オートマトン、言語およびプログラミング：第33回国際コロキウム、ICALP 2006、ベニス、イタリア、2006年7月10〜14日、議事録、パートI、章マトリックス乗算時間における加重2部マッチング、274〜285ページ。Springerベルリンハイデルベルク、ベルリン、ハイデルベルク、2006年
。http：//link.springer.com/chapter/10.1007%2F11786986_25

— Tjhighley
ソース