巡回セールスマン問題ポリトープの既知の側面

ブランチアンドカット法では、問題によって生成されるポリトープの多くの側面を知ることが不可欠です。ただし、ポリトープのサイズが急速に大きくなるにつれて、そのようなポリトープのすべてのファセットを実際に計算することは、現在、最も難しい問題の1つです。

任意の最適化問題の場合、ブランチアンドカットまたはカットプレーンメソッドによって使用されるポリトープは、すべての実行可能な頂点の凸包です。頂点は、モデルのすべての変数の割り当てです。（非常に単純な）例として：一方が最大になる場合 $2\cdot x+y$ ST $x+y \leq 1$ と $0\leq x,y\leq 1.5$ 次に頂点 $(0,0)$ 、 $(0,1)$ と $(1,0)$ 実行可能な頂点です。 $(1,1)$ の不等式違反したがって、実現可能ではありません。（組み合わせ）最適化の問題は、実行可能な頂点の中から選択することです。（この場合、明らかにが最適です）。これらの頂点の凸包は、まさにこれら3つの頂点を持つ三角形です。この単純なポリトープのファセットは、、およびです。ファセットを介した説明は、モデルよりも正確であることに注意してください。TSPなどのほとんどの難しい問題では、ファセットの数がモデルの不等式の数を数桁超えます。 $x+y\leq 1.5$ $(1,0)$ $x\geq0$ $y\geq 0$ $x+y\leq 1$

巡回セールスマン問題を考えます。ノードの数はポリトープとして完全に既知であり、ファセットの数はどれくらいですか。それが完全でない場合、ファセット数の下限は何ですか？

TSPのいわゆるハミルトニアンパスの定式化に特に興味があります。

メートル 私 ん Σ_{私 = 0}^{ん - 1} （ Σ_{j = 0}^{私 - 1} c_{私 、 j} \cdot {バツ}_{私 、 j} + Σ_{j = 私 + 1}^{ん - 1} c_{私 、 j} \cdot {バツ}_{私 、 j} ）

$min \sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{i-1}c_{i,j}\cdot x_{i,j}+\sum_{j=i+1}^{n-1}c_{i,j}\cdot x_{i,j})$ st

\forall 私 \neq j ： 0 \leq {バツ}_{私 、 j} \leq 1

$\forall i \neq j:\ \ 0 \leq x_{i,j}\leq 1$

\forall 私 \neq j {バツ}_{私 、 j} + {バツ}_{j 、 私} \leq 1

$\forall i \neq j\ \ \ x_{i,j}+x_{j,i}\leq 1$

\forall j Σ_{私 = 0}^{j - 1} {バツ}_{私 、 j} + Σ_{私 = j + 1}^{ん - 1} {バツ}_{私 、 j} \leq 1

$\forall j \ \ \sum_{i=0}^{j-1}x_{i,j}+\sum_{i=j+1}^{n-1}x_{i,j}\leq 1$

\forall j Σ_{私 = 0}^{j - 1} {バツ}_{j 、 私} + Σ_{私 = j + 1}^{ん - 1} {バツ}_{j 、 私} \leq 1

$\forall j \ \ \sum_{i=0}^{j-1}x_{j,i}+\sum_{i=j+1}^{n-1}x_{j,i}\leq 1$

Σ_{私 = 0}^{ん - 1} （ Σ_{j = 0}^{私 - 1} {バツ}_{私 、 j} + Σ_{j = 私 + 1}^{ん - 1} {バツ}_{私 、 j} ） = ん - 1

$\sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{i-1}x_{i,j}+\sum_{j=i+1}^{n-1}x_{i,j})=n-1$

TSPの他の製剤のポリトープに関する情報がある場合は、それも共有してください。

— ステファン
ソース

個人的には、「問題の多面体」が何を意味するのかわかりません。しかし、私は複雑性理論の背景がほとんどありません。

— ラファエル

これは実際には複雑さの理論ではありません（このタグにタグを付けるのではありません）。実際、この種の質問に適したタグはまだありません。適切なタグは、ブランチアンドカットまたはカッティングプレーン方式です。私が話しているポリトープについての情報を少し追加します

— stefan

@Raphael：質問を更新したので、ファセットとポリトープについて何かを読むことができます。

— ステファン

@stean：ああ、それは実現可能なソリューションの領域にすぎません。その場合、TSPの検索は明らかに指数関数的です。それ以外の場合は、P = NP時代がありました。さらに、TSPは通常、無向の完全なグラフで定義されるため、は正確に存在します実現可能なソリューション。だから私はあなたが他に何を探しているのかわかりません。多分私はあなたの質問の重要な詳細を得られません。IPではなくリラックスしたLPを書き留めたのでしょうか？

n!

$n!$

— ラファエル

@Raphaelそれは実行可能なソリューションの凸包です。P = NPでない限り、この凸包は指数関数的に多くのファセットを持つことになります。ただし、頂点の数はそれとは関係ありません。バイナリベクトルの凸包は、ファセットしかないブールキューブです。さらに、指数関数的に多くのファセットがあることは、指定されたものに投影するより高次元のポリトープがないことを意味しません。たとえば、ファセットを持つ標準基底ベクトルの凸包を取り上げますが、小さな線形プログラムの射影です。

{0, 1}^{n}

$\{0, 1\}^n$

2 n

$2n$

2^{n}

$2^n$

— Sasho Nikolov

回答:

漸近的な境界については、フィオリーニ、マサー、ポクッタ、ティワリ、およびデウルフは最近、TSPポリトープに投影される任意のポリトープ（TSPポリトープ、実現可能なTSPソリューションの凸包である）のファセット数の指数的な下限を示しました。これは、要求したものよりも強力であり、変数を追加してもTSPポリトープを効率的に表現できないことを意味します。

彼らの論文はYannakakisによる古典的な1988年の論文に続きます。Yannakakisは同じ結果を示しましたが、特定の対称条件を満たすポリトープについてのみです。

— サショニコロフ
ソース

このリンクをありがとう！NPの問題に適した（指数関数的に成長しない）ポリトープを作成するのは奇妙だったでしょうが、それは確かに印象的な結果です。

— ステファン2012

驚くべき部分はそれを証明できることです:)

— Sasho Nikolov

@stefan afaik NP問題の多項式成長ポリトープは、ラファエルが上に述べているようにP = NPを意味します...また、フィオリーニらをP！= NP証明に拡張するために何が要求されるかについての声明/議論を見た人もいますか？

— vzn 2014年

短い答えは、結果はポリタイム境界のTMよりも弱い計算モデルに関するものであり、拡張された定式化がPよりも弱いという証拠のために、Pと同じくらい強いモデルのそれのバージョンが欲しい、ロスボス一致するポリープに指数関数的な拡張の複雑さがあることを証明しました。それにもかかわらず、一致するポリトープ上の任意の線形関数は、エドモンズのアルゴリズムまたは楕円体法のいずれかを使用して解くことができます。

— Sasho Nikolov 2014

より技術的には、結果がP対NPから離れている多くの理由があります。結果は、ベクトルとしての問題解決の固定エンコーディングであり、より巧妙なエンコーディングがポリサイズの定式化を可能にすることを除外しません。また、結果は、与えられたエンコーディングに対して、すべてのコンパクトLPがいくつかの目的関数で失敗することを示していますが、異なる目的関数に対して異なるLPを使用することが可能かもしれません。最後に、本質的にSDPに対する明示的な下限はまだありません。次に、指数サイズのLPを解くことができる楕円体の方法があります

— Sasho Nikolov

呼ばれるライブラリがありSMAPO対称TVPだけでなく、グラフィカルなTSPを含む多面体のロットの（組合せ最適化における多面体の小さな問題インスタンスの線形記述のライブラリーのための短い）が。

STSPの場合、これは小さなポリトープのファセット数のリストです

 Nodes in STSP  |  # of facets
----------------+--------------
       6        |         100
       7        |        3437
       8        |      194187
       9        |    42104442
      10        | 51043900866

— ステファン
ソース