線形計画法を正の線形計画法に減らす

次の形式の問題を解決するオラクルがあるとします

$$\begin{align*} \text{maximize} ~~ & c^T x \\ \text{subject to} ~~ & A x = b, x\geq 0 \end{align*}$$

（最大化対象内のすべての係数は非負です）。$c\geq 0$

一般的な線形プログラムを効率的に解くために使用できますか？

失敗した試み＃1：で負の係数で表示される各変数を、別の変数置き換えます。残念ながら、このは非負性制約を満たしていません。$x_i$$c^T x$$y_i := - x_i$$y_i$

失敗した試み＃2：すべての要素が正でないことを確認します（必要に応じて方程式に-1を掛けます）。次に、デュアルLPを作成します。$b$

$$\begin{align*} \text{maximize} ~~ & - b^T y \\ \text{subject to} ~~ & A^T y \geq c \end{align*}$$

ここでは、目的のすべての係数は負ではありません。ただし、制約は等式制約ではなく、変数は無制限であるため、この形式はオラクルが解決できる形式と一致しません。$y$

変数を追加できます $y$ そして線形等式 $y=c^Tx+c_0$ いくつかのための $c_0$。次に、元の問題は最大化に相当します$y$ 新しいシステムで。

状態を除いて $y\geq 0$。そこは$c_0$ 私たちは作る必要があります $c_0$十分な大きさのためにそのいくつかの実現可能$x$ （あれは $Ax=b$ そして $x\geq 0$ ホールド）私たちは持っています $c^Tx+c_0\geq 0$。その場合、非否定性が実現可能な空間の一部を切り取ることは問題ではありません。最適値は同じです。

だから選択する方法 $c_0$？私は線形最適化の専門家ではありません。実現可能なものを見つけています$x_0$目的関数を最大化するものを見つけるよりも簡単ですか？もしそうなら、私たちは取ることができます$c_0$ することが $-c^Tx_0$。

与えられた係数が有理である場合、別の方法があります。まず、実現可能な多面体であることを確立しましょう$x$ 頂点があります（空でない場合）：みましょう $p$前記ポリトープの最小次元境界セル内の点である。矛盾するため、このセルの次元は$\geq 1$。次に、別のポイントがあります$q$同じセルで。セルには最小の寸法があるため、セルは無制限なので、フォームのポイント$r=p+t(q-p)$同じセルにあり、したがってポリトープにあります。なので$q-p\not=0$、そのようないくつか $r$ 負の座標を持ち、ポリトープ条件と矛盾する $r\geq 0$。

次に、すべての係数を $A$ そして $b$共通の分母を掛けて整数。しましょう$n$ 次元（ベクトルの長さ） $c$）そしてましょう $M$ 任意の係数の最大絶対値 $A$、 $b$、または $c$。次に、実行可能なポリトープの任意の頂点の座標を$n!\cdot M^n$。したがって、選択$c_0:=n\cdot n!\cdot M^{n+1}$。

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さらにもう1つの方法は、オラクルを複数回呼び出したい場合です。最初に、上記の $c_0=0$。解または「無制限」の回答が得られれば、問題ありません。答えが「解決できない」場合、目的関数が負の解があるかどうかを調べる必要があります。したがって、設定$z=-c^T$ そして最大化 $z$代わりに。解決策を得たら、次のように使用できます$x_0$。あなたが再び「解けない」を得るならば、あなたも同様に行われます。最後のケースは「無制限」の答えです。次に、これまで以上に大きなサイズを試す必要があります$c_0$ （少数のoracle呼び出しの場合は、急成長する関数を使用します。アッカーマン関数が使用する場合があります）。

正であるという制限のない変数xを2つの変数に置き換えることができます $x^+ - x^-$ どちらも $x^+$ そして $x^-$ポジティブに制限されています。それらの係数はすべて、反対の符号があることを除いて同一です。

シンプレックスアルゴリズムでは、常にこれらの1つだけを基底に含めることができます。実際には、基底変数が現在正であるか負であるかを追跡するだけで、追加の計算を回避できます。