入力（たとえば、変数の数）が固定されている場合、多項式時間で解けるNP完全問題？

NP困難であるが、固定次元で多項的に解決できるいくつかの問題を見てきました。

例としては、アイテムの数が固定されている場合に多項式で時間を解けるナップザックと、レンズトラによる固定数の変数または制約による整数線形計画法が結果として得られると思います。

質問：

次元が固定されている場合に多項式時間解決可能になるNPハード問題の他の例は何ですか？

これが当てはまらない問題はありますか？

これは、ナップザックなどのFPTAS /疑似多項式時間アルゴリズムを認める問題の場合に常に当てはまりますか？

— user2145167
ソース

あなたが探しているのはFPTです。あなたが問題を解決できるなら

f (k) \cdot n^{O (1)}

$f(k) \cdot n^{O(1)}$ あらゆる機能のための時間

f

$f$ のみに依存

k

$k$ 、問題は扱いやすい固定パラメータ、または複雑度クラスFPTにあると言われています。FPTにある古典的な問題は、ソリューションサイズでパラメーター化された頂点カバー、変数の数でパラメーター化されたSAT、ツリー幅でパラメーター化されたツリー幅などです。選択された問題のリストについては、FPTレースも参照してください。

— –PålGD 2013

難問への対応：NP完全問題の参照質問も参照してください。

— –PålGD

でパラメータ化複雑我々は言う（いくつかのパラメータを固定することで問題を解決します $k$ ）。で問題を解決できる場合 $f(k) \cdot p(n)$ 時間、我々は問題があると言う扱いやすいパラメータ固定で $k$ 。ここに $f(k)$ いくつかの計算可能な関数です。FPTであるNPのハードな問題はたくさんありますが、NPには多くの問題があり、固定されたパラメーターでは扱いにくいと考えられています。

パラメータを修正することで問題を時間内に解決できる場合 $O(n^{f(k)})$ 、この問題はXPにあると言われています。XPはFPTと等しくない（Pと同じように） $\neq$ NP）。ただし、これら2つ（FPTとXP）の間にも多くの問題があり、階層（実際には複数）を定義しました。そのうちの1つはW階層です。W階層では、NP完全なクラスの削減のような削減がありますが、ポリタイム削減を探しているのではなく、FPT削減が必要なだけです。クラスW [0]はクラスFPTです。

これらは、W階層のさまざまなクラスのサンプルです。

頂点カバーはFPTです（無向グラフの頂点分離パスも同様です）。
独立セットとクリークはどちらもW [1]完全です
支配セットはW [2] -Completeです。

これらは、NP問題をより正確に分類するためのもう1つの複雑さのレベルであり、さらに詳しく知りたい場合は、このペーパーを参照してください。

そして、もっともっと欲しければ、グローエとフォミネの本を読んでもいいです

そして最後に：

これは、ナップザックなどのFPTAS /疑似多項式時間アルゴリズムを認める問題の場合に常に当てはまりますか

必ずしもそうとは限りませんが、問題にFPTASがある場合、それはFPTでもあることは明らかです（これは明らかです）が、PTASとXPの関係についてはいくつかの作業がありますが、PTASとW階層の間にはそれほど緊密な関係はありません（少なくとも現時点ではわかりません）。

また、場合によっては、いくつかの異なるパラメーターを修正することもあります。例：グラフの最長パスの長さは制限され、解のサイズは制限されます（フィードバック頂点セットなど）、...

頂点カバーはおそらく最も単純なFPT問題であり、問題を時間内に解決する非常に単純な分岐の引数があります

2^{k} n^{O (1)}

$2^k n^{O(1)}$ 。多分あなたは独立セットまたはクリークを意味しましたか？これらの問題は両方ともW [1]完全です。また、「FPTを修正するときのFPT」が問題であるとは言わないでください。

k

$k$ "、ポイントはFPT であることです。

k

$k$ （または任意のパラメーター）。

— PAL GD

また、W [1]に時間内に解決可能なすべての問題が含まれているとは限りません

n^{k}

$n^k$ 、それはそれほど単純ではありません。

— –PålGD 2013

@PålGD、あなたは正しい、頂点カバーのための非常に単純なカーネルがあります、私は最初のもののために頂点のばらばらのパスを書きました、そして私は2番目のものに関するいくつかのカバー関連の問題を言うことを考えていました、私はそれを最初のものと混ぜました、そしてこの間違いを引き起こしましたが、はい、私たちが必要とする回路の複雑な層が決定すると言うことができます

W

$W$ 階層ですが、初心者には賢明ではなく、より正確な定義が必要だと思います。正確な定義については、これについて知っている最高の本を参照しました。一般的に正しい。

とにかく、ジュホは私の答えを編集してその部分を削除しましたが、読者に直感をもたらし、どれだけ難しいかを言うのは良かったと思います。

実際、私は回答を編集しました（「編集されたxy前」リンクをクリックして変更履歴を表示できます。

— PålGD