すべてのNP問題には、ポリサイズのILP製剤がありますか？

整数線形計画法はNP完全であるため、NPの問題からそれへのカープ削減があります。これは、NPの問題には常に多項式サイズのILP定式化があることを意味すると考えました。

しかし、「これが最初のポリサイズ製剤」または「既知のポリサイズ製剤はない」などのことを書く特定のNP問題に関する論文を見てきました。だから私は困惑しています。

— アンディ
ソース

あなたは例を指摘するか、より完全な引用を与える必要があります;）

— hugomg

すべてのNP完全問題から他のすべてのNP完全問題への多項式簡約が存在します。ただし、1つが存在することがわかっているからといって、それを構築する方法を知っているわけではありません。

— ジョー

@Joeよく、私たちはNPの問題を3-satに減らす方法を知っています。また、すべての実用的なNP完全問題の証明は3-satからの削減の連鎖から来るので、特定のNPC問題から他の。

— アンディ

@andyは、そのコメントで質問に答えただけではありませんか？すべてのNP問題インスタンスはポリサイズの3-SATインスタンスとして記述でき、3-SATインスタンスはポリサイズのILPインスタンスとして記述でき、多項式に適用される多項式は別の多項式であることがわかります...答えを期待しますか？

— アルテムKaznatcheev

これが最初のポリサイズ製剤であると誰かが言うとき、彼らが意味するのは、それが明示的に与えられた最初の製剤であるということです。SATを介して得られた削減は（すべての詳細に注意を払ったとしても）見栄えが悪く、作業が困難です。通常、自然で扱いやすい配合が必要です。

— カヴェー

回答:

この回答は、主に上記の質問に関するコメントの要約です。

問題がNP完全である場合、Karpの縮約（Joe、andy）を使用することにより、実際にILPに縮約することができます。ある問題から別の問題への「多項式サイズの定式化」の主張は、SAT（-Kaveh）による複数の削減とは対照的に、より直接的な定式化を意味する可能性があります。

— リアルツ・スロー
ソース

はい。すべてのNP問題には、多項式サイズのILP定式化があります。

その理由は次のとおりです。すべてのNP問題には、SATのインスタンスとして多項式サイズの定式化があります。さらに、通常のブール演算子（論理OR、論理AND、論理NOTなど）はすべて、ブール演算子ごとに一定数の変数と不等式を使用してILPで表現できます。その方法の詳細については、0-1整数線形計画法（ILP）でのブール論理演算の表現をご覧ください。したがって、SATからILPに移行すると、せいぜい一定サイズの爆発が発生します。これは、ILP問題としてすべてのNP問題の多項式サイズの定式化があることを意味します。

— DW
ソース