整数線形計画法の場合、ブールにキャスト

次の制約を整数線形プログラムで表現したいと思います。

y = {\begin{cases} 0 & if x = 0 \\ 1 & if x \neq 0. \end{cases}

$y = \begin{cases} 0 &\text{if } x=0\\ 1 &\text{if } x\ne 0. \end{cases}$

私はすでに整数変数を持っていますが、ことが約束されています。上記の制約を整数線形計画法ソルバーでの使用に適した形式でどのように表現できますか？ $x,y$ $-100 \le x \le 100$

これはおそらくいくつかの追加の変数を導入する必要があります。追加する必要がある新しい変数と制約は何ですか？1つの新しい変数できれいに実行できますか？二？

同様に、これは制約を強制する方法を尋ねています

y \neq 0 if and only if x \neq 0.

$y \ne 0 \text{ if and only if } x \ne 0.$

を暗示する制約がすでにある状況ではおよび。 $|x| \le 100$ $0 \le y \le 1$

（私の目標は、/cs//a/12118/755のエラーを修正することです。）

linear-programming integer-programming

— DW
ソース

何を試しましたか？パターンが表示されるかどうかを確認するために、いくつかの例を試してみましたか？はいの場合、推測を試み、それを証明してみましたか？

— Brika

へえ！私が見るあなたがそこに何をしたか、@Brikaを。私が試したものを見ている好奇心あなたがいる場合、参照ここだけでなく、それが実際に間違っていた理由のこの説明。私の次の試みを見たい場合は、私の答えを見てください。私の古い質問を読んでいただきありがとうございます。それらが将来のために改善される可能性がある場合は、皆さんからの提案をお待ちしています。

— DW

それはとても良いことです。;）

— Brika

回答:

私は1つの余分バイナリ変数でそれを行うことができると思い $\delta \in \{0,1\}$ ：

- 100 y \leq x \leq 100 y

$-100y \le x \le 100 y$

0.001 y - 100.001 δ \leq x \leq - 0.001 y + 100.001 (1 - δ)

$0.001y-100.001\delta \le x \le -0.001y+100.001 (1-\delta)$

更新

これは、 $x$ が連続変数であることを前提としています。我々は制限する場合 $x$ する整数値、第2の制約は、に簡略化することができる：

y - 101 δ \leq x \leq - y + 101 (1 - δ)

$y-101\delta \le x \le -y+101 (1-\delta)$

— アーウィン・カルベラゲン
ソース

小さなプログラムで徹底的にテストして、これが正しいことを確認しました。解決策をありがとう！

— DW

@ErwinKalvelagen、より一般的な場合、たとえば、y = {a：x> 0、b：x <0}の場合、バイナリ変数デルタを使用してロジックを説明してください。

— Nick

@Nickバイナリ変数は、「OR」構造のモデル化に使用されます。質問の回答については、こちらをご覧ください。

— Erwin Kalvelagen、2016年

@ErwinKalvelagen、素晴らしい答え、私はあなたのアプローチを私の質問cs.stackexchange.com/questions/64794/…に適用しようとしました。

— Nick

@GonzaloSolera実際、私は間違っていました

は連続変数であると想定しました。実際、

が整数値の場合、提案どおりに0.001から1に移動できます。

x

$x$

x

$x$

— Erwin Kalvelagen

以下は決して美しくはありませんが、動作します。してみましょう、、問題の特定のケースに。次に、次の制約があります。 $0 \leq x \leq N$ $N=100$

$0 \leq z_1, z_2, z \leq 1$
$x - N(1-z_1) \leq 0$
$-x -Nz_1 \leq -1$
$-x -N(1-z_2) \leq 0$
$x -Nz_2 \leq -1$
$z_1 + z_2 - 1 \leq z$
$z \leq z_1$
$z \leq z_2$

直感は以下の通りです。。これは制約2および3でエンコードされます。同様に、制約4および5はエンコードします $z_1 = 1 \iff x \leq 0$ 。最後の3つの制約は、発現。 $z_2 = 1 \iff x \geq 0$ $z = z_1 \land z_2$

— プラモド
ソース

これにはバグがあるようです。あなたは

を意図していると思います。ただし、

の場合はまだ間違ってい

この場合は

（

）を強制したいのですが、方程式

として、すべての方程式を満たす

選択肢はありません。

必要

（すなわち、

）。したがって、このILPは次の場合に誤った結果を返します。

z = 1 - y

$z=1-y$

x = 100

$x=100$

y = 1

$y=1$

z = 0

$z=0$

z_{1}, z_{2}

$z_1,z_2$

x - N z_{2} \leq - 1

$x-Nz_2 \le -1$

x < N

$x<N$

x \leq 99

$x \le 99$

：

が必要ですが、

です。他にも所望の範囲

質問に記載されているようである

ではなく

。

x = 99

$x=99$

y = 1

$y=1$

y = 0

$y=0$

x

$x$

- N \leq x \leq N

$-N \le x \le N$

0 \leq x \leq N

$0 \le x \le N$

— DW

$t,u$ $t=1$ $x \ge 0$ $u=1$ $x \le 0$ $y=\neg(t \land u)$

\begin{aligned} 0 & \leq t 、 あなた 、 y \leq 1 \\ 1 + バツ & \leq 101 t \leq 101 + バツ \\ 1 - バツ & \leq 101 あなた \leq 101 - バツ \\ t + あなた - 1 & \leq 1 - y \\ 1 - y & \leq t \\ 1 - y & \leq あなた \end{aligned}

$\begin{align*} 0 &\le t,u,y \le 1\\ 1+x &\le 101t \le 101 + x\\ 1-x &\le 101u \le 101-x\\ t+u-1 &\le 1-y\\ 1-y &\le t\\ 1-y &\le u \end{align*}$

— DW
ソース

x \leq 99

$x \leq 99$

x \leq 100

$x \leq 100$

x \geq - 99

$x \geq -99$

@TLW、キャッチしてくれてありがとう！回答を編集してバグを修正しました。小さなプログラムで徹底的にテストしましたが、今は正しいはずです。

— DW