すべての整数線形計画法の問題はNPハードですか？

私が理解しているように、ハンガリーのアルゴリズムは多項式時間-O（n ³）で解決できるため、割り当て問題はPにあります。また、割り当ての問題は整数線形計画法の問題であることも理解していますが、ウィキペディアのページではこれがNP困難であると述べています。私にとって、これは割り当ての問題がNP-Hardにあることを意味します。

しかし、割り当ての問題はPとNPハードの両方に存在することはできません。そうでない場合、PはNPに等しくなりますか？ウィキペディアのページは、すべてのILP問題を解決するための一般的なアルゴリズムがNPハードであることを単に意味しているのですか？他のいくつかの出典では、ILPはNP-Hardであると述べているため、これは一般的に複雑性クラスについての私の理解を本当に混乱させています。

問題がNPハードである場合、その問題のインスタンスのクラスがNPハードであるクラスが存在することを意味します。他の特定のクラスのインスタンスが多項式時間で解けることは完全に可能です。

たとえば、グラフの3色を見つける問題を考えてみましょう。これはよく知られたNP-Hard問題です。ここで、そのインスタンスがグラフなどのグラフに制限されていると想像してください。明らかに、多項式時間でツリーの3色を簡単に見つけることができます（実際、2色を見つけることもできます）。

意思決定の問題を少しの間考えてみましょう。決定問題の難易度を証明する方法は、NPハードであることが知られている別の問題から多項式（Karp）の削減を考案することです。この削減では、関数が存在することを示しの各インスタンスにマッピング問題の、問題のインスタンスに：よう のためのイエスのインスタンスであるのためのイエスのインスタンスである。これは、解法は、自体の解法と同じくらい「少なくとも困難」でなければならないことを意味します。Q f q Q P q $P$$Q$$f$$q$$Q$$P$$q$P f （q ）$Q \iff f(q)$$P$$f(q)$$q$

のイメージがのインスタンスのセットと等しい必要がないことに注意してください。したがって、問題がインスタンスの一部のサブセットに限定されていることが難しくないことは完全に可能です。P $f$$P$$P$

元の質問に戻るには：

• 割り当て問題は多項式時間で解くことができます。つまり、割り当て問題の各インスタンスの解は多項式時間で計算できます。
• ILPはNP困難です。一般に、ILP問題の解決策を計算するのは難しい場合があります。つまり、ILPのインスタンスが難しい場合があります。
• ILPのいくつかの特定のインスタンスは、多項式時間で解くことができます。

いいえ、特殊なケースの方が簡単です。

たとえば、 for指定して、このIPを考えます。$a_i \geq 0$$i \in [1..n]$

$\qquad\displaystyle \min \sum_{i=1}^n x_ia_i$

st および for。$\quad\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \geq 1$
$\ \displaystyle x_i \in \mathbb{N}$$i \in [1..n]$

これは、（必然的に、最適解では）の中から最小値を見つけます。数の最小値を見つけることは、明らかに多項式の問題です。$a_1, \dots, a_n$$x_i=1$$n$

多項式で解決可能な問題をIPとしてモデル化できます。これは、問題がNP困難であることを意味するものではありません。これは単に、問題のIPモデルを解くための既知の多項式アルゴリズムがないことを意味します（P = NPを除く）。

あなたが示唆したように、割り当ての問題はPにありますが、そのIPモデルはNP困難です。

いいえ、特別な種類の整数プログラムがあります。制約行列がTUM（完全にユニモジュラ行列）である場合、線形プログラムに緩和でき、多項式時間で解くことができます。

割り当ての問題はILPではなく、LPの問題であるため、NPハードではありません。