並列計算とクラスNCに関するいくつかの質問

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これらの2つのトピックに関するいくつかの関連する質問があります。

まず、ほとんどの複雑なテキストは、クラスのみを光沢化します。研究をより深くカバーする優れたリソースはありますか？たとえば、以下の私の質問のすべてを議論するもの。また、は並列化にリンクしているため、かなりの量の研究が行われていると想定していますが、間違っている可能性があります。複雑な動物園のセクションはあまり役に立ちません。 $\mathbb{NC}$ $\mathbb{NC}$

第二に、セミグループ操作に一定の時間がかかると仮定した場合、セミグループの計算はます。しかし、無制限の整数の場合のように、操作に一定の時間がかからない場合はどうでしょうか？既知の -complete問題はありますか？ $\mathbb{NC}^1$ $\mathbb{NC}^i$

3番目に、、ログスペースアルゴリズムを並列バージョンに変換するアルゴリズムはありますか？ $\mathbb{L} \subseteq \mathbb{NC}^2$

第四に、ほとんどの人はと同じ方法でを仮定しているように聞こえます。この背後にある直感は何ですか？ $\mathbb{NC} \ne \mathbb{P}$ $\mathbb{P} \ne \mathbb{NP}$

5番目に、私が読んだすべてのテキストはクラスに言及していますが、それに含まれる問題の例は示していません。いずれかがあります？ $\mathbb{RNC}$

最後に、この回答はサブリニアパラレル実行時間に関する問題に言及しています。これらの問題の例は何ですか？ないことが知られている並列アルゴリズムを含む他の複雑度クラスはありますか？ $\mathbb{P}$ $\mathbb{NC}$

— マイク・イズビッキ
ソース

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また、この同様の質問に注意してください。

— ニコラスマンクーソ

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第三に、、ログスペースアルゴリズムを並列バージョンに変換するアルゴリズムはありますか？ $\sf{L} \subseteq \sf{NC}^2$

-time TM与えられると（AroraとBarakの教科書）、忘却型のTM（つまり、頭の動きが入力独立しているTM ）が、回路を構築してここで。 $t(n)$ $M$ $M'$ $x$ $C_n$ $M(x)$ $|x| = n$

プルーフスケッチは、をシミュレートさせ、各タイムステップ（計算ログのように考えて）でその状態（ヘッド位置、ヘッドのシンボル）の「スナップショット」を定義するという線に沿っています。各ステップは、と状態から計算できます。各スナップショットには一定サイズのストリングのみが含まれ、そのサイズのストリングは一定量しか存在しないため、のスナップショットは一定サイズの回路で計算できます。 $M'$ $M$ $t_i$ $t_i$ $x$ $t_{i-1}$ $t_i$

ごとに一定サイズの回路を構成する場合、を計算する回路があります。言語という制限とともに、この事実を使用してである私達は私達の回路いることがわかり、定義により、あるログ・スペース均一な均一性は私たちの回路家族の中で私たちの回路ことを意味し、コンピューティングすべて同じアルゴリズムを持っています。入力サイズ動作する各回路のカスタムメイドのアルゴリズムではありません。 $t_i$ $M(x)$ $M$ $\sf{L}$ $C_n$ $\{C_n\}$ $M(x)$ $n$

繰り返しますが、均一性の定義から、言語を決定する回路には、計算可能な関数必要であることがわかり回路ファミリ深さは最大でです。 $\sf{L}$ $\text{size}(n)$ $O(\log n).$ $\sf{AC}^1$ $O(\log n)$

最後に、が問題の関係を与えることを示すことができます。 $\sf{AC}^1 \subseteq \sf{NC}^2$

第四に、ほとんどの人がをと同じように仮定しているように聞こえます。この背後にある直感は何ですか？ $\sf{NC} \neq \sf{P}$ $\sf{P} \neq \sf{NP}$

先に進む前に、完全性の意味を定義しましょう。 $\sf{P}$

言語ある場合-completeとですべての言語それにログ・スペースの還元可能です。さらに、が -completeの場合、次のことが当てはまります。 $L$ $\sf{P}$ $L \in \sf{P}$ $\sf{P}$ $L$ $\sf{P}$

$L \in \sf{NC} \iff \sf{P} = \sf{NC}$
$L \in \sf{L} \iff \sf{P} = \sf{L}$

ここで、は並列コンピューター（私たちの回路）によって効率的に決定される言語のクラスであると考えます。には、並列化の試みに抵抗する問題がいくつかあります（つまり、線形計画法や回路値の問題）。つまり、特定の問題では、計算を段階的に行う必要があります。 $\sf{NC}$ $\sf{P}$

たとえば、回線値の問題は次のように定義されます。

回路、入力、およびゲート与えられた、上のの出力はどうなりますか？ $C$ $x$ $g \in C$ $g$ $C(x)$

私たちは、任意のより良いすべてのゲート・コンピューティングよりも、これを計算する方法がわからないの前に来る。与えられたいくつかの彼らはすべてのいくつかのタイムステップで発生した場合、それらのは、例えば、並列に計算することができる。が、私たちはタイムステップでのゲートの出力の計算方法を知らないとタイムステップのための明白な困難をそのにおけるゲートでゲートの出力を必要！ $g'$ $g$ $t_i$ $t_i$ $t_{i+1}$ $t_{i+1}$ $t_i$

これは背後にある直感です。 $\sf{NC} \neq \sf{P}$

並列計算の制限は、Garey＆Johnsonの -Completenessブックと同様に、 -Completeness についての本です。 $\sf{P}$ $\sf{NP}$

— ニコラス・マンクーソ
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2つの参考文献と部分的な回答をありがとう。並列計算の制限の本は、私が見た他の本よりも良い仕事をしますが、それでも比較的古く、私が望むほど完全ではありません。

— マイクIzbicki

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5番目に、私が読んだすべてのテキストはクラスRNCについて言及していますが、それに含まれる問題の例は示していません。いずれかがあります？

Mulmuley、Vazirani、およびVaziraniの論文「Matching is As Easy as Matrix Inversion」には、クラスの問題の例がいくつかあります。主なものは最大の一致を見つけることであり、それにより他の問題がこの問題に軽減されます。 $\mathbb{RNC}^2$

— マイク・イズビッキ
ソース