間隔内の2つの数値の最大XORを見つける：二次式よりも良いことはできますか？

$l$$r$ L ≤ I $\max{(i\oplus j)}$$l\le i,\,j\le r$

ナイーブアルゴリズムは、考えられるすべてのペアを単純にチェックします。たとえば、ルビーでは次のようになります。

def max_xor(l, r)
  max = 0

  (l..r).each do |i|
    (i..r).each do |j|
      if (i ^ j > max)
        max = i ^ j
      end
    end
  end

  max
end

私感私たちはより良い次より行うことができます。この問題のためのより良いアルゴリズムはありますか？

およびバイナリ表現の長さで線形ランタイムを実現できます。l $n$$l$$r$

とバイナリ表現のプレフィックスは、両方の値で同じですが、それらの間のすべての値でも同じです。したがって、これらのビットは常になり。l r $p$$l$$r$$0$

以来、、このプレフィックス以下のビットになりますにおける及びで。さらに、数値とは両方とも間隔内にあります。1 r 0 l p 10 n − | p | − 1 p 01 n − | p | − $r>l$$1$$r$$0$$l$$p10^{n-|p|-1}$$p01^{n-|p|-1}$

探している最大値はです。$0^{|p|}1^{n-|p|}$

それを行うことが可能である時間。$\mathcal{O}(\log r)$

区間の任意の2つの整数の最大XORは、から決定できますは整数であると仮定します。この値はに等しく、はがよりも大きい最小値です。 $[l, r]$$l \oplus r$$l, r$$2^p-1$$p$$2^p$$l \oplus r$

C ++での実装は次のとおりです。

int maximumXOR(int l, int r) {
    int q = l ^ r, a = 1;
    while(q){
        q /= 2;
        a <<= 1;
    }
    return --a;
}

「小さい」と「高い」の間のxorを最大化する必要があります。それでは、例を理解してみましょう。

5 xor 2 = 101 xor 010最初の場合：範囲内の両方の値にMSBビットが設定されていません。これを最大化する場合は、MSBを5（100）のままにして、残りの下位ビットを最大化します。私たちが知っているように、下位ビットはすべて、すべてが3以外の11、つまり2 ^ 2-1の場合に1になります。問題は2〜5の範囲に関するものであるため、最終的には3の範囲になります。したがって、必要なのは、2つの値のうち大きい方で最も高いMSBセットを見つけ、残りの1を下位ビットに追加することです。

2番目のケース：MSBがxorを実行する範囲内の両方の値に設定されている場合、これらのビットは確実に0に設定されるため、下位ビットに戻る必要があります。下位ビットについても、最初のケースと同じロジックを繰り返す必要があります。例：（10、12）（1010、1100）両方ともMSBが1に設定されていることがわかるように、下位のビット010と100に戻らなければなりません。この問題は最初のケースと同じです。

これをコーディングする方法はいくつかあります。私がしたことは、 'small'と 'high'のxorだけを行うことで、 'small'と 'high'の両方にMSBビットが設定されている場合、MSBビットが削除されます。そうでない場合は、MSBビットが保持されます。その後、xored出力で2の最大電力を見つけ、1から減算することにより、下位ビットをすべて1にしようとしています。

def range_xor_max(small, high):
  if small == high:
    return 0
  xor = small ^ high
  #how many power of 2 is present
  how_many_power_of_2 = math.log(xor, 2)
  #we need to make all one's below the highest set bit
  return 2**int(math.floor(how_many_power_of_2)+1) - 1

さて、あなたは答えを見つけるためにlとrの XORを使用できます。

l = 4およびr = 6と仮定します。

l = 100、r = 110（これらの数値のバイナリ等価）

l⊕r= 0 10

つまり、探している最大値の最初のビット（MSB）は必ずゼロになります。（それについて考えてみてください、あなたの最大値が最初のビットに1を持っている可能性さえありますか？それが01010と00101だった場合、xorは= 01 111でした。すなわち01010と00101の間の最大値は間違いなく持っています。1左から、その2番目のビットで、取得することはできません1）左から1ビット目に左すなわちから2ビット目の前に

したがって、最大値を見つけるために残りの2ビットが残っています。nビットがある場合の最大値は= 2 ⁿ -1であるため、この場合の答えは2 ² -1 = 4-1 = 3になります。

上記の例から、このための一般的なアルゴリズムを作成できます。

ステップ1. num = max（l、r）を表すために必要なビット数

ステップ2. RES = L ⊕ R

ステップ3. pos = resの左から設定される最初のビットの位置（0ベースのインデックス付け）

ステップ4. n = num - pos

ステップ5. ans = 2 ⁿ -1

時間の複雑さ= O（n）

各2進数には、1_and_1、1_and_0、0_and_1、または0_and_0の4つの可能性があります。可能性のある下位桁は、次の桁の選択のxor出力に差異を生じないか、対数がわずかに小さくなります。可能な限り最良のアルゴリズムは、下位の桁をすべて無視し、上位の桁に関する以前の選択を考慮して、次の2桁のみを考慮することです。これが1_and_1または0_and_0の場合、選択は明確ですが、この数字が1_and_0対0_and_1（xorは等しいが値は等しくない）の場合、再帰的にhttps://en.wikipedia.org/wiki/Edit_distanceアルゴリズムと等しくなります。対数の二乗の最悪の場合を意味します。

32ビット間隔の場合、O(1)Hacker Rank社説でこのソリューションに出会いました。どのように機能するのかわかりませんが、機能します。（おそらく誰かがそれが機能する理由を説明できるでしょう。）

def max_xor(L,R):
  v = L^R
  v |= v >> 1
  v |= v >> 2
  v |= v >> 4
  v |= v >> 8
  v |= v >> 16
  return b

ソース：https : //www.hackerrank.com/challenges/maximizing-xor/editorial