からへの直接削減

私たちは、知っているであるでImmerman-Szelepcsényi定理定理とするのであるしたがって、は還元可能な多対数のログスペースです。しかし、チューリングマシンの構成グラフを通過しない直接/組み合わせの削減はありますか？N L$st\text{-}non\text{-}connectivity$$\mathsf{NL}$N L - h a r d s t - n o n - c o n n e c t i v i t y s t - c o n n e c t i v i t y N $st\text{-}connectivity$$\mathsf{NL\text{-}hard}$$st\text{-}non\text{-}connectivity$$st\text{-}connectivity$$\mathsf{NL}$

$\mathsf{stConnectivity}$（別名）：$stPATH$

有向グラフと頂点および与えられた場合、s $G$$s$$t$

頂点から頂点tへの有向パスはありますか？$s$$t$

明確化：

グラフは隣接行列によって与えられると仮定できます（ただし、グラフの標準表現は互いに対数空間変換可能であるため、これは必須ではありません）。

st \ text {-}接続性の性の証明を解凍し、証明に移動して、定理として定理を使用しないようにすることができます。ただし、これは基本的に同じ構造です。私が探しているのはこれではなく、概念的に直接削減したいです。\ mathsf {NP}の場合を例に挙げましょう。私たちは、様々な減らすことができます- \ mathsf {}完全なNP \テキスト{} 、彼らがしているという事実使って、お互いに問題をmathsf {NP} \に減らすため、をSATとSAT s t - c o n n e c t i v i t $\mathsf{NL\text{-}hard}$$st\text{-}connectivity$N P - c o m p l e t e N P S A T S A $\mathsf{NP}$$\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP}$$SAT$$SAT$他の問題に還元されます。そして、これらの2つの削減を展開して組み合わせて、直接削減することができます。ただし、多くの場合、この中間ステップを経由しない概念的にはるかに単純な削減を行うことができます（言及することは削除できますが、概念的にはまだあります）。たとえば、$HamPath$または$VertexCover$または3 \ text {-} SAT$3\text{-}Coloring$へのカラーリングを減らすために、HamPathが\ mathsf {NP}にあるとは言わず、SATは\ mathsf {NP \ text {-} hard}であるためSAになります$SAT$$HamPath$$\mathsf{NP}$$SA$$SAT$$\mathsf{NP\text{-}hard}$。グラフにハミルトニアンパスがある場合に満たす簡単で直感的な式を与えることができます。別の例として、我々は中に他の問題から減少してい$\mathsf{NL}$の$st\text{-}Connectivity$に依存しない$\mathsf{NL\text{-}complete}$のネス$st\text{-}Connectivity$、例えば$Cycle$、$StronglyConnected$など、入力グラフの変更を伴います（それらを解決しているチューリングマシンを参照しません）。

私はこれがこれのためにできない理由をまだ見ていません。この種の削減を探しています。

これは不可能な場合があり、縮小は概念的に結果を通過し。しかし、なぜそうなるのか、なぜ場合とは状況が異なるのかはわかりません。明らかに、私の質問に否定的な回答をするためには、概念的に証明を行う時期についてより正式にする必要があります。N P N $\mathsf{NL\text{-}hard}$$\mathsf{NP}$別の証拠を含めます（これは、AFAIKが満足のいく方法で解決しないという証明理論の質問です）。ただし、肯定的な答えを得るには、そのような正式な定義は不要であり、そうであることを願っています。（もっと自由な時間を見つけたときに、私が忠実に求めていることを形式化する方法について考えます。本質的に、問題が完全であることがわからなくても機能する削減が必要です。 ）$\mathsf{NL}$

定理が使用して、結構ですImmerman-Szelepcsényiの証拠を使用してのネスとのコンフィギュレーション・グラフマシンは、私は避けたいものです。 s t P A T H N $\mathsf{NL\text{-}complete}$$stPATH$$\mathsf{NL}$

面倒な場合、Immerman-Szelepcsényiの定理の証明を希望する簡約に変換することができます。st-connectivityのNL完全性を使用する必要はまったくありません。

インスタンス与えられると、新しいグラフG ′ = （V ′、E ′）、s ′、t ′を構築します。「主要な頂点」V "レコードの次の情報：現在の距離DからS、最大で距離の頂点の数D - 1、距離の頂点の数D - $G=(V,E),s,t$$G'=(V',E'),s',t'$$V'$$d$$s$$d-1$$d-1$これまで数え、それはせいぜい距離があれば、我々は推測している現在の頂点、最大で距離の頂点の数dが、これまでのところ、我々はそれが最大で距離を有しているかどうかを決定している現在の頂点カウントさdは。マイナー頂点は、我々は最大で長さの経路を推測一部扱うD - 1、我々は最大で距離であることが推測頂点にD - 1。頂点tの表示を含むエッジはsから到達可能です$d-1$$d$$d$$d-1$$d-1$$t$$s$ドロップされます。現在の距離でテストしている各頂点について、より小さい距離のすべての頂点を考慮した場合にのみ、次の頂点に進みます。距離から距離d + 1に移動するとき、必要な情報をコピーします。開始頂点s 'は、sが距離ゼロの唯一の頂点であるという事実を説明します。終了頂点t 'は、プロセスが距離n − 1まで（および含む）終了したという事実を表すすべての頂点によって指されます。ここで、n = | V | 。$d$$d+1$$s'$$s$$t'$$n-1$$n=|V|$

ご覧のとおり、すべてを完全かつ正確に書くのは非常に面倒ですが、間違いなく可能です。NLマシンの構成グラフを使用しないという点で、NL完全性の明白な使用は行われませんでした。構成グラフよりも優れたもの（入力インスタンス自体）があるため、これは必要ありません。