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確率変数または確率変数は、偶然の変動（すなわち、数学的な意味でのランダム性）の影響を受ける値です。

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ランダムな数のiid確率変数の合計の3番目の中心モーメント
この質問に触発されて、ランダムな数のiidランダム変数の合計の3番目の中心モーメントの式を取得しようとしました。私の質問は、それが正しいかどうか、正しくない場合、何が間違っているか、またはどの追加の仮定が欠落している可能性があるかです。 具体的には： NS=∑1NXi,S=∑1NXi,S=\sum_1^N{X_i},非負の整数値の確率変数です。NNN との両方の分布がわかっている（そしてがiidである）と仮定すると、 3番目の中心モーメントの値を知りたいと思います。NNNXXXXiXiX_iSSS 総累積の法則を使用する： μ3(S)=E[μ3(S|N)]+μ3(E[S|N])+3cov(E[S|N],V[S|N]),μ3(S)=E[μ3(S|N)]+μ3(E[S|N])+3cov(E[S|N],V[S|N]),\mu_3(S)=E[\mu_3(S|N)]+\mu_3(E[S|N])+3cov(E[S|N],V[S|N]), しかし、、、そして私が正しい場合は。したがって：E[S|N]=N⋅E[X]E[S|N]=N⋅E[X]E[S|N]=N\cdot E[X]E[S|N]=N⋅V[X]E[S|N]=N⋅V[X]E[S|N]=N\cdot V[X]μ3(S|N)=N⋅μ3[X]μ3(S|N)=N⋅μ3[X]\mu_3(S|N)=N\cdot \mu_3[X] μ3(S)=E[N⋅μ3(X)]+μ3(N⋅E[X])+3cov(N⋅E[X],N⋅V[X]),μ3(S)=E[N⋅μ3(X)]+μ3(N⋅E[X])+3cov(N⋅E[X],N⋅V[X]),\mu_3(S)=E[N\cdot \mu_3(X)]+\mu_3(N\cdot E[X])+3cov(N\cdot E[X],N\cdot V[X]), そして、のモーメントは既知であるはずなので、XXX μ3(S)=μ3(X)E[N]+E[X]3μ3(N)+3E[X]V[X]cov(N,N)μ3(S)=μ3(X)E[N]+E[X]3μ3(N)+3E[X]V[X]cov(N,N)\mu_3(S)=\mu_3(X)E[N]+E[X]^3\mu_3(N)+3E[X]V[X]cov(N,N) もちろん、なので、cov(N,N)=V[N]cov(N,N)=V[N]cov(N,N)=V[N] μ3(S)=μ3(X)E[N]+E[X]3μ3(N)+3E[X]V[X]V[N]μ3(S)=μ3(X)E[N]+E[X]3μ3(N)+3E[X]V[X]V[N]\mu_3(S)=\mu_3(X)E[N]+E[X]^3\mu_3(N)+3E[X]V[X]V[N] 正しいですか？なにが問題ですか？他にどのような仮定が欠けていますか？
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CDFからの確率変数の関数の期待
rvのCDFだけで確率変数の関数の期待値を計算することは可能ですか？Iは、関数ているとしg(x)g(x)g(x)性質を有する∫∞−∞g(x)dx≤∞∫−∞∞g(x)dx≤∞\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx \leq \infty 及びIは、確率変数について持っている唯一の情報は、CDFです。 例えば、私は指数確率変数としてモデル化することができる3つのタイマであるシナリオ有するX1,X2,X3X1,X2,X3X_1,X_2,X_3レートパラメータでは、λ1,λ2,λ3λ1,λ2,λ3\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3それぞれ。各瞬間に、いくつかの報酬関数に従って報酬を獲得しg(x)g(x)g(x)ます。これは、時間まで待機する私の報酬であるtttのように書くことができ∫t0g(x)dx∫0tg(x)dx\int_0^tg(x)dx。ただし、g(x)g(x)g(x)リターンが減少するため、で1秒待機することで得られる限界報酬は、t = 27t=0t=0t=0で1秒よりも大きくなります。この「ゲーム」は、次の2つのいずれかが発生すると終了します。両方のタイマーX 1またはX 2が鳴るか、タイマーX 1またはX 3が鳴る必要があります。私はこのゲームをプレイすることで期待される報酬を見つけようとしています。t=27t=27t=27X1X1X_1X2X2X_2X1X1X_1X3X3X_3 現在、ゲームが終了するまでの時間をモデル化する確率変数のCDFを計算できますが、この情報を使用して、本当に必要なものがこの時間に関連付けられた報酬になるまで、この情報を使用する方法がわかりません。 F I（X ）、I ∈ { 1 、2 、3 } X I Z F Z（T ）= F 1（T ）F 2（T ）+ F 1（T ）F 3（t ）− F 1（t ）W12= 最大（X1、X2）W13= 最大（X1、X３）Z= 分（W12、W13）W12=max(X1,X2)W13=max(X1,X3)Z=min(W12,W13) W_{12}=\max(X_1,X_2) \quad W_{13}=\max(X_1,X_3) \quad Z=\min(W_{12},W_{13})F私（X ）、I ∈ …
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結合確率変数の瞬間は何ですか？
簡単な質問ですが、オンラインで答えを見つけるのは驚くほど難しいです。 私は、RVのためにことを知っている、我々はk番目の時点を定義 場合等式は以下濃度のために、とルベーグ測度。XXX∫Xk dP=∫xkf(x) dx∫Xk dP=∫xkf(x) dx\int X^k \ d P = \int x^k f(x) \ dxp=f⋅mp=f⋅mp = f \cdot mfffmmm それで、例えば、のk番目のモーメントは何ですか？は私に対する答えのようには見えません...(X,Y)(X,Y)(X,Y)∫(X,Y) dP∫(X,Y) dP\int (X,Y) \ d P
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イベントと確率変数の関係は何ですか？
イベントは割り当てられたランダム変数に過ぎず、ランダム変数はイベントの一般化であると言われました。しかし、それをサンプル空間のサブセットとしてのイベントの定義に関連付けることはできません。さらに、確率変数は複数の結果を持つことができるのに対し、イベントは発生するかしないかのどちらかです。 イベントはバイナリ確率変数のようなものですか？もしそうなら、確率変数の各結果は本当にイベントですか？ また、条件付きの独立性の観点から、2つの概念が互いにどのように関連しているかを知る必要もあります。
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分布
XXXがベータ分布Beta (1,K−1)(1,K−1)(1,K-1)持ち、YYY が2K2K2K度のカイ2乗に従うと仮定します。さらに、XXXとYYYは独立していると仮定します。 製品の分布はどのようなものですかZ=XYZ=XYZ=XY。 私の試みを更新： fZ=∫y=+∞y=−∞1|y|fY(y)fX(zy)dy=∫+∞01B(1,K−1)2KΓ(K)1yyK−1e−y/2(1−z/y)K−2dy=1B(1,K−1)2KΓ(K)∫+∞0e−y/2(y−z)K−2dy=1B(1,K−1)2KΓ(K)[−2K−1e−z/2Γ(K−1,y−z2)]∞0=2K−1B(1,K−1)2KΓ(K)e−z/2Γ(K−1,−z/2)fZ=∫y=−∞y=+∞1|y|fY(y)fX(zy)dy=∫0+∞1B(1,K−1)2KΓ(K)1yyK−1e−y/2(1−z/y)K−2dy=1B(1,K−1)2KΓ(K)∫0+∞e−y/2(y−z)K−2dy=1B(1,K−1)2KΓ(K)[−2K−1e−z/2Γ(K−1,y−z2)]0∞=2K−1B(1,K−1)2KΓ(K)e−z/2Γ(K−1,−z/2)\begin{align} f_Z &= \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{|y|}f_Y(y) f_X \left (\frac{z}{y} \right ) dy \\ &= \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{B(1,K-1)2^K \Gamma(K)} \frac{1}{y} y^{K-1} e^{-y/2} (1-z/y)^{K-2} dy \\ &= \frac{1}{B(1,K-1)2^K \Gamma(K)}\int_{0}^{+\infty} e^{-y/2} (y-z)^{K-2} dy \\ &=\frac{1}{B(1,K-1)2^K \Gamma(K)} [-2^{K-1}e^{-z/2}\Gamma(K-1,\frac{y-z}{2})]_0^\infty \\ &= \frac{2^{K-1}}{B(1,K-1)2^K \Gamma(K)} e^{-z/2} \Gamma(K-1,-z/2) \end{align} それが正しいか？はいの場合、どのようにこの分布を呼び出しますか？
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X、Y単変量確率変数：それらは独立していますか？
LET及び単変量ランダムCDFを有する変数である：よう ここで、、は既知の関数です。X:Ω→RX:Ω→RX:\Omega\to\mathbb{R}Y:Ω→RY:Ω→RY:\Omega\to\mathbb{R}FX,Y(x,y)FX,Y(x,y)F_{X,Y}(x,y)G 1：R → R G 2：R →FX,Y(x,y)=G1(x)G2(y),∀(x,y)∈R×RFX,Y(x,y)=G1(x)G2(y),∀(x,y)∈R×R F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y),\forall (x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} G1:R→RG1:R→RG_1:\mathbb{R}\to\mathbb{R}G2:R→RG2:R→RG_2:\mathbb{R}\to\mathbb{R} 質問：とが独立したRV であることは本当ですか？YXXXYYY 誰かが私にいくつかのヒントを与えることはできますか？ 私が試した： が、なぜ（またはif）\ lim_ {y \ to \ infty} G_2（y）= 1なのかわかりません。LIM Y → ∞ G 2（Y ）=Fバツ（x ）= limy→ ∞Fバツ、Y（x 、y）= limy→ ∞G1（x ）G2（y）= G1（x ）⋅ リムy→ ∞G2（y）FX(x)=limy→∞FX,Y(x,y)=limy→∞G1(x)G2(y)=G1(x)⋅limy→∞G2(y) F_X(x)=\lim_{y\to\infty}F_{X,Y}(x,y)=\lim_{y\to\infty}G_1(x)G_2(y)=G_1(x)\cdot\lim_{y\to\infty}G_2(y) リムy→ ∞G2（y）= 1limy→∞G2(y)=1\lim_{y\to\infty}G_2(y)=1
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均一分布を使用したRでの相関ランダムサンプルの生成
[最近の質問で、Rでランダムなベクトルを生成することを検討しており、その「研究」を特定のポイントに関する独立したQ＆Aとして共有したいと思いました。] 相関してランダムなデータを生成する相関行列のコレスキー分解を用いて行うことができるここでの前記事に反映されるように、ここで及びここ。C= L LTC=LLTC = LL^{T} 私が対処したいのは、Rの異なる周辺分布から相関乱数を生成するために均一分布を使用する方法です。
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従属変数の合計のPDF
これは私の最近の質問の直接の続きです。実際に取得したいのは、ここは均一です。これで、が上記のスレッドで正常に計算されました。これをと呼びましょう。の分布は、単にです。最後のステップは、との合計の分布を前の方法と同様の方法ですることですが、と、B、C、D[0、1]（-D）2+4bはC √a + d+ （a − d）2+ 4 b c−−−−−−−−−−−√a+d+(a−d)2+4bca+d+\sqrt{(a-d)^2+4bc}a 、b 、c 、da,b,c,da,b,c,d[ 0 、1 ][0,1][0,1]（a − d）2+ 4 b c(a−d)2+4bc(a-d)^2+4bch （x ）h(x)h(x) H（X2）⋅2XX=A+DY= √（a − d）2+ 4 b c−−−−−−−−−−−√（a−d）2+4bc\sqrt{(a-d)^2+4bc}h （x2）⋅ 2 Xh（バツ2）⋅2バツh(x^2)\cdot 2xバツ= a + dバツ=a+dX=a+dY= （a − d）2+ 4 b c−−−−−−−−−−−√Y=（a−d）2+4bcY=\sqrt{(a-d)^2+4bc}YバツバツXYYY 独立していないので、今は行き詰まっており、どこから始めればよいのかもわかりません。 注意することは有用であり得ることを部品ルートの下、後者（すなわち、および）は簡単に計算できます。次に、との分布を知っているの分布に興味があります。 X2=（a+d）2W=−4（ad−bc）X+ √（a − d）2+ 4 …
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分布を見つけて正規分布に変換する
1時間にイベントが発生する頻度（「1時間あたりの数」、nph）とイベントが持続する時間（「1秒あたりの秒数」、dph）を説明するデータがあります。 これは元のデータです： nph <- c(2.50000000003638, 3.78947368414551, 1.51456310682008, 5.84686774940732, 4.58823529414907, 5.59999999993481, 5.06666666666667, 11.6470588233699, 1.99999999998209, NA, 4.46153846149851, 18, 1.05882352939726, 9.21739130425452, 27.8399999994814, 15.3750000002237, NA, 6.00000000004109, 9.71428571436649, 12.4848484848485, 16.5034965037115, 20.6666666666667, 3.49999999997453, 4.65882352938624, 4.74999999996544, 3.99999999994522, 2.8, 14.2285714286188, 11.0000000000915, NA, 2.66666666666667, 3.76470588230138, 4.70588235287673, 13.2727272728677, 2.0000000000137, 18.4444444444444, 17.5555555555556, 14.2222222222222, 2.00000000001663, 4, 8.46153846146269, 19.2000000001788, 13.9024390245481, 13, 3.00000000004366, NA, …
8 normal-distribution  data-transformation  logistic  generalized-linear-model  ridge-regression  t-test  wilcoxon-signed-rank  paired-data  naive-bayes  distributions  logistic  goodness-of-fit  time-series  eviews  ecm  panel-data  reliability  psychometrics  validity  cronbachs-alpha  self-study  random-variable  expected-value  median  regression  self-study  multiple-regression  linear-model  forecasting  prediction-interval  normal-distribution  excel  bayesian  multivariate-analysis  modeling  predictive-models  canonical-correlation  rbm  time-series  machine-learning  neural-networks  fishers-exact  factorisation-theorem  svm  prediction  linear  reinforcement-learning  cdf  probability-inequalities  ecdf  time-series  kalman-filter  state-space-models  dynamic-regression  index-decomposition  sampling  stratification  cluster-sample  survey-sampling  distributions  maximum-likelihood  gamma-distribution 
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確率で収束するのか、それとも収束としてどの確率を測定するのか？
WLLNの証明とSLLNのバージョン（有界の第4中心モーメントを想定）を提示していたときに、どちらの尺度も確率に関する確率であるかと尋ねられたとき、反省して、私は確信が持てないことに気付きました。 どちらの法則でも、のシーケンスがあり、平均値と有限分散が同じである独立したRVがあるため、それは簡単なようです。見える変数は1つ、つまりだけなので、確率は分布と一致する必要がありますよね。典型的な証明技術は新しいRVの定義するために、次にあるので、しかし、その後、それは強力な法律のために非常に適切ではいないようだ、そのと仕事を、および制限があるの内側確率：XiXiX_{i}XiXiX_{i}XiXiX_{i}Sn:=∑ni=1XiSn:=∑i=1nXiS_{n} := \sum_{i=1}^{n} X_{i} Pr[limn→∞1n∑ni=1Xi=E[Xi]]=1Pr[limn→∞1n∑i=1nXi=E[Xi]]=1 Pr \left[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i} = E[X_{i}]\right]=1 したがって、RVがnnn項の合計であるかのように見えるため、確率は合計S_ {n}の分布を超えます。SnSnS_{n}ここで、nnnは固定されていません。あれは正しいですか？もしそうなら、部分和のシーケンスに適切な確率測度を構築するにはどうしたらよいでしょうか？ 何が起こっているかについての直感的な応答と、たとえば実際の分析や複雑な分析、学部卒業生の確率/統計、基本測度理論を使用した正式な応答を受け取って満足しています。私は確率とほぼ確実な収束および関連するリンクで収束を読みましたが、そこには助けがありません。
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50％の確率でA、50％の確率でBとして定義されたランダム変数
注：これは宿題の問題ですので、完全な答えは出さないでください。 正規分布の2つの変数AとBがあります（平均と分散は既知です）。Cが50％の確率でA、50％の確率でBとして定義されているとします。Cも正規分布しているかどうかをどのように証明しますか？そうである場合、その平均と分散は何ですか？ AとBのPDFをこのように組み合わせる方法はわかりませんが、理想的には、誰かが私を正しい方向に向けることができる場合、私の攻撃計画はCのPDFを派生させて、それがaであるかどうかを示すことです通常のPDFのバリエーション。
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示す場合」sは独立していると場合
ましょう独立ランダム変数です。Xi∼Gamma(α,pi),i=1,2,...,n+1Xi∼Gamma(α,pi),i=1,2,...,n+1X_i\sim\text{Gamma}(\alpha,p_i),i=1,2,...,n+1 定義と。次に、が独立して分布していることを示します。Z1=∑n+1i=1XiZ1=∑i=1n+1XiZ_1=\sum_{i=1}^{n+1}X_iZi=Xi∑ij=1Xj,i=2,3,...,n+1Zi=Xi∑j=1iXj,i=2,3,...,n+1Z_i=\frac{X_i}{\sum_{j=1}^iX_j},\quad i=2,3,...,n+1Z1,Z2,...,Zn+1Z1,Z2,...,Zn+1Z_1,Z_2,...,Z_{n+1} の結合密度は、(X1,...,Xn+1)(X1,...,Xn+1)(X_1,...,X_{n+1}) fX(x1,...,xn+1)=[α∑n+1i=1pi∏n+1i=1Γ(pi)exp(−α∑i=1n+1xi)∏i=1n+1xpi−1i]Ixi>0,α>0,pi>0fX(x1,...,xn+1)=[α∑i=1n+1pi∏i=1n+1Γ(pi)exp⁡(−α∑i=1n+1xi)∏i=1n+1xipi−1]Ixi>0,α>0,pi>0f_{\bf X}(x_1,...,x_{n+1})=\left[\frac{\alpha^{\sum_{i=1}^{n+1}p_i}}{\prod_{i=1}^{n+1}\Gamma(p_i)}\exp\left(-\alpha\sum_{i=1}^{n+1}x_i\right)\prod_{i=1}^{n+1}x_i^{p_i-1}\right]\mathbf I_{x_i>0}\quad,\alpha>0,p_i>0 我々変換、その結果X=(X1,⋯,Xn+1)↦Z=(Z1,⋯,Zn+1)X=(X1,⋯,Xn+1)↦Z=(Z1,⋯,Zn+1)\mathbf X=(X_1,\cdots,X_{n+1})\mapsto\mathbf Z=(Z_1,\cdots,Z_{n+1}) Z1=∑n+1i=1XiZ1=∑i=1n+1XiZ_1=\sum_{i=1}^{n+1}X_iおよびZi=Xi∑ij=1Xj,i=2,3,...,n+1Zi=Xi∑j=1iXj,i=2,3,...,n+1Z_i=\frac{X_i}{\sum_{j=1}^iX_j},\quad i=2,3,...,n+1 ⟹xn+1=z1zn+1,⟹xn+1=z1zn+1,\implies x_{n+1}=z_1z_{n+1}, xn=z1zn(1−zn+1),xn=z1zn(1−zn+1),\qquad x_n=z_1z_n(1-z_{n+1}), xn−1=z1zn−1(1−zn)(1−xn+1),xn−1=z1zn−1(1−zn)(1−xn+1),\qquad x_{n-1}=z_1z_{n-1}(1-z_n)(1-x_{n+1}), ⋮⋮\qquad\vdots x3=z1z3∏n+1j=4(1−zj)x3=z1z3∏j=4n+1(1−zj)\qquad x_3=z_1z_3\prod_{j=4}^{n+1}(1-z_j) x2=z1z2∏n+1j=3(1−zj)x2=z1z2∏j=3n+1(1−zj)\qquad x_2=z_1z_2\prod_{j=3}^{n+1}(1-z_j) x1=z1∏n+1j=2(1−zj)x1=z1∏j=2n+1(1−zj)\qquad x_1=z_1\prod_{j=2}^{n+1}(1-z_j)、ここでおよび0<z1<∞0<z1<∞00および（。pi>0pi>0p_i>0i=1,2,...,n+1i=1,2,...,n+1i=1,2,...,n+1 言うまでもなく、逆解見つけてヤコビアンを評価するのは面倒で時間がかかりました。仕事をでなく、の分布も決定します。xixix_iZiZiZ_i の独立性を示す簡単な方法はありますか？ZiZiZ_i
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IID正規確率変数のセットの中央値の平均と分散は何ですか？
レッツ、...、同一の独立を持つ確率変数配布さX1X1X_1XnXnX_nN（μ 、σ2）N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2) サンプル平均が。バツ¯=1んΣんi = 0バツ私X¯=1n∑i=0nXi\bar{X} = \frac{1}{n}\sum^n_{i = 0}{X_i}N（μ 、σ2ん）N(μ,σ2n)N(\mu, \frac{\sigma^2}{n}) ただし、サンプルの中央の分布が何であるか、特にその平均値と分散値を見つけるのに苦労しています。m個の電子のDi a n （X）median(X)median(X) 2つの条件間で実行する必要があるテストの数を減らすために、定義済みのグループにいくつかの機能をまとめようとしているので、質問します。 これに対する単純な答えがない場合、私が疑っているように、私は分散、特にとの違いを知ることに興味があります。m個の電子のDi a n （X）median(X)median(X)バツ¯X¯\bar{X}
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