確率で収束するのか、それとも収束としてどの確率を測定するのか？

WLLNの証明とSLLNのバージョン（有界の第4中心モーメントを想定）を提示していたときに、どちらの尺度も確率に関する確率であるかと尋ねられたとき、反省して、私は確信が持てないことに気付きました。

どちらの法則でも、のシーケンスがあり、平均値と有限分散が同じである独立したRVがあるため、それは簡単なようです。見える変数は1つ、つまりだけなので、確率は分布と一致する必要がありますよね。典型的な証明技術は新しいRVの定義するために、次にあるので、しかし、その後、それは強力な法律のために非常に適切ではいないようだ、そのと仕事を、および制限があるの内側確率：$X_{i}$$X_{i}$$X_{i}$$S_{n} := \sum_{i=1}^{n} X_{i}$

$Pr \left[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i} = E[X_{i}]\right]=1$

したがって、RVが$n$項の合計であるかのように見えるため、確率は合計S_ {n}の分布を超えます。$S_{n}$ここで、$n$は固定されていません。あれは正しいですか？もしそうなら、部分和のシーケンスに適切な確率測度を構築するにはどうしたらよいでしょうか？

何が起こっているかについての直感的な応答と、たとえば実際の分析や複雑な分析、学部卒業生の確率/統計、基本測度理論を使用した正式な応答を受け取って満足しています。私は確率とほぼ確実な収束および関連するリンクで収束を読みましたが、そこには助けがありません。

確率測度はどちらの場合も同じですが、関心のある問題は2つで異なります。どちらの場合も、単一の確率空間定義された）無限の確率変数のシーケンスがあります。私たちは取る、と（我々はそうでない場合はトラブルに実行することができますので、注意が、我々は唯一の確率測度について話していることを、ここでは、必要とされている）それぞれの場合の総乗します。$(\Omega,\mathscr{F},P)$$\Omega$$\mathscr{F}$$P$

SLLNの場合、重要なのは、スケーリングされた部分和が収束しないすべてののセットの確率（または測定）です。SLLNによると、このセットはメジャーゼロ（wrt）です。$\omega = (\omega_{1},\omega_{2},\ldots)$$P$

WLLNで重要なのは、一連の射影測定。ここで、各、は有限測定可能空間への射影。WLLNは、スケーリングされた部分合計が収束しないシリンダー（つまり、が関与するイベント）の（予測される）確率は、として制限内でゼロになると述べています無限に行きます。$\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$$n$$P_{n}$$P$$\Omega_{n} = \prod_{i=1}^{n} \Omega_{i}$$X_{1},\ldots,X_{n}$$n$

WLLNでは、無限の積空間から取り除かれたように見える確率を計算していますが、実際には消えることはありませんでした。私たちが行っていたのは、1からまでの部分空間に射影し、その後限界をとることだけでした。そのようなことは可能であり、各の予測が、私たちが想定していることと一致するように無限積空間で確率測度を構築することが可能であり、想定されていることを実行することが、結果の1つです。コルモゴロフの拡張定理。$n$$n$

詳細については、Ash、Doleans-Dadeの「確率と測度理論」で、このような微妙な点に関する最も詳細な説明を見つけました。他にもいくつかありますが、私のお気に入りはAsh / DDです。