ランダムな数のiid確率変数の合計の3番目の中心モーメント

この質問に触発されて、ランダムな数のiidランダム変数の合計の3番目の中心モーメントの式を取得しようとしました。私の質問は、それが正しいかどうか、正しくない場合、何が間違っているか、またはどの追加の仮定が欠落している可能性があるかです。

具体的には：

$$S=\sum_1^N{X_i},$$ 非負の整数値の確率変数です。$N$

との両方の分布がわかっている（そしてがiidである）と仮定すると、 3番目の中心モーメントの値を知りたいと思います。$N$$X$$X_i$$S$

総累積の法則を使用する：

$$\mu_3(S)=E[\mu_3(S|N)]+\mu_3(E[S|N])+3cov(E[S|N],V[S|N]),$$

しかし、、、そして私が正しい場合は。したがって：$E[S|N]=N\cdot E[X]$$E[S|N]=N\cdot V[X]$$\mu_3(S|N)=N\cdot \mu_3[X]$

$$\mu_3(S)=E[N\cdot \mu_3(X)]+\mu_3(N\cdot E[X])+3cov(N\cdot E[X],N\cdot V[X]),$$

そして、のモーメントは既知であるはずなので、$X$

$$\mu_3(S)=\mu_3(X)E[N]+E[X]^3\mu_3(N)+3E[X]V[X]cov(N,N)$$

もちろん、なので、$cov(N,N)=V[N]$

$$\mu_3(S)=\mu_3(X)E[N]+E[X]^3\mu_3(N)+3E[X]V[X]V[N]$$

正しいですか？なにが問題ですか？他にどのような仮定が欠けていますか？

あなたの歩みは私には正しいようです。瞬間が存在すると仮定する必要があります。わからなかった唯一のステップはでした。しかし、次のことを証明できます。$\mu_3(S | X) = N \cdot \mu_3[X]$

$$\begin{align} \mu_3(S | X) &= E\left[(S - E[S])^3 | N \right] \\ &= E\left[ \left( \sum_{i=1}^N (X_i - E[X]) \right)^3 \middle| N \right] \\ &= E \left[ \sum_{i=1}^N (X_i - E[X])^3 \middle| N\right] \end{align}$$ 最後の等式を確立する場所には、多項定理を使用できます。与えられた、$n$

kはiは=2、Ijはk個のJ=1XIXJXJ-E[X]μ3（S|X）=Nを⋅μ3[X

$$\begin{align} E\left[ \left( \sum_{i=1}^n (X_i - E[X]) \right)^3 \right] &= E \left[ \sum_{\sum_{i=1}^n k_i = 3} {3 \choose{k_1, \ldots, k_n}} (X_1 - E[X])^{k_1} \cdots (X_n - E[X])^{k_n} \right] \\ &= E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - E[X])^3 \right], \end{align}$$ ときのでいずれかの、別の存在ここで、（と独立性、および期待値がゼロであり、その特定の項がゼロになるため）。であることは明らかです。$k_i = 2$$i$$j$$k_j=1$$X_i$$X_j$$X_j - E[X]$$\mu_3(S | X) = N \cdot \mu_3[X]$