示す場合」sは独立していると場合

ましょう独立ランダム変数です。 $X_i\sim\text{Gamma}(\alpha,p_i),i=1,2,...,n+1$

定義と。次に、が独立して分布していることを示します。 $Z_1=\sum_{i=1}^{n+1}X_i$ $Z_i=\frac{X_i}{\sum_{j=1}^iX_j},\quad i=2,3,...,n+1$ $Z_1,Z_2,...,Z_{n+1}$

の結合密度は、 $(X_1,...,X_{n+1})$

f_{X} (x_{1}, . . ., x_{n + 1}) = [\frac{α^{\sum_{i = 1}^{n + 1} p_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n + 1} Γ (p_{i})} \exp (- α \sum_{i = 1}^{n + 1} x_{i}) \prod_{i = 1}^{n + 1} x_{i}^{p_{i} - 1}] I_{x_{i} > 0}, α > 0, p_{i} > 0

$f_{\bf X}(x_1,...,x_{n+1})=\left[\frac{\alpha^{\sum_{i=1}^{n+1}p_i}}{\prod_{i=1}^{n+1}\Gamma(p_i)}\exp\left(-\alpha\sum_{i=1}^{n+1}x_i\right)\prod_{i=1}^{n+1}x_i^{p_i-1}\right]\mathbf I_{x_i>0}\quad,\alpha>0,p_i>0$

我々変換、その結果 $\mathbf X=(X_1,\cdots,X_{n+1})\mapsto\mathbf Z=(Z_1,\cdots,Z_{n+1})$

$Z_1=\sum_{i=1}^{n+1}X_i$ および $Z_i=\frac{X_i}{\sum_{j=1}^iX_j},\quad i=2,3,...,n+1$

$\implies x_{n+1}=z_1z_{n+1},$

$\qquad x_n=z_1z_n(1-z_{n+1}),$

$\qquad x_{n-1}=z_1z_{n-1}(1-z_n)(1-x_{n+1}),$

$\qquad\vdots$

$\qquad x_3=z_1z_3\prod_{j=4}^{n+1}(1-z_j)$

$\qquad x_2=z_1z_2\prod_{j=3}^{n+1}(1-z_j)$

$\qquad x_1=z_1\prod_{j=2}^{n+1}(1-z_j)$ 、ここでおよび $0<z_1<\infty$ $0<z_i<1,\quad i=2,3,\cdots,n+1$

変換のヤコビアンは、 $J=\dfrac{\partial(x_1,...,x_{n+1})}{\partial(z_1,...,z_{n+1})}=\det\begin{pmatrix}\frac{\partial x_1}{\partial z_1} &\cdots& \frac{\partial x_1}{\partial z_{n+1}} \\ &\ddots\\\frac{\partial x_{n+1}}{\partial z_1} &\cdots& \frac{\partial x_{n+1}}{\partial z_{n+1}}\\\end{pmatrix}$

操作を実行すると、の行列式として $R_1'=\sum_1^{n+1}R_i$ $J$

$\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots&0&0 \\z_2\prod_3^{n+1}(1-z_j)& z_1\prod_3^{n+1}(1-z_j) \\ z_3\prod_4^{n+1}(1-z_j)&0& z_1\prod_4^{n+1}(1-z_j)\\&&&\ddots\\z_n(1-z_{n+1})&0&0&\cdots&z_1(1-z_{n+1})& -z_1z_n \\z_{n+1}&0&0 &\cdots&0& z_1\\\end{pmatrix}$

これは、と等しくなります。 $z_1^n(1-z_3)(1-z_4)^2...(1-z_n)^{n-2}(1-z_{n+1})^{n-1}$

いくつかの単純化した後、私たちはの共同密度を得るなどを $\bf Z$

$f_{\bf Z}(z_1,...,z_{n+1})=\prod_{i=1}^{n+1}f_{Z_i}(z_i)$

ここで、 $Z_1\sim \text{Gamma}(\alpha,\sum_1^{n+1}p_i),$

$\qquad Z_2\sim \text{Beta}_1(p_1,p_2),$

$\qquad Z_3\sim \text{Beta}_1(p_3,p_1+p_2),$

$\qquad \vdots$

$\qquad Z_{n+1}\sim \text{Beta}_1(p_{n+1},\sum_1^np_i)$ 、

及び、 $0<z_1<\infty$ $0<z_i<1,\quad i=2,3,\cdots,n+1$

$\alpha>0$ および（。 $p_i>0$ $i=1,2,...,n+1$

言うまでもなく、逆解見つけてヤコビアンを評価するのは面倒で時間がかかりました。仕事をでなく、の分布も決定します。 $x_i$ $Z_i$

の独立性を示す簡単な方法はありますか？ $Z_i$

— 頑固な原子
ソース

rhsでを意味しました。

. . . (1 - z_{n + 1})

$...(1-z_{n+1})$

x_{n - 1}

$x_{n-1}$

— StubbornAtom

私はこれを単純化すると考えることができる唯一の方法は、n = 1の場合で始まるすなわち、誘導を利用して、発見されと、その後の独立使用して、独立していると（だけで追加すること）必要に応じて一つずつ。

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

X_{i}

$X_i$

Z_{j}

$Z_j$

j < i

$j<i$

X_{i}

$X_i$

— 17

ディリクレ分布に関連しています。

— StubbornAtom 2017

同等の声明を証明します。

ましょう、、、独立しています。示し、。、。次に、、、、、およびは独立しており、です。 $n\ge 1$ $X_k\sim \Gamma(\alpha,p_k)$ $k=1,\dots,n+1$ $S_k = X_1+\dots+X_k$ $k=1,\dots,n+1$ $R_k = \frac{S_k}{S_{k+1}}$ $k=1,\dots,n$ $R_1$ $R_2$ $\dots$ $R_{n}$ $S_{n+1}$ $S_{n+1}\sim \Gamma(\alpha,p_1+\dots + p_{n+1})$

備考 OP表記では、、、です。 $Z_1=S_{n+1}$ $Z_k = 1 - R_{k-1}$ $k=2,\dots,n+1$

証明。は簡単です（そしてよく知られています）。 $n=1$

$n-1\Rightarrow n$ 。

帰納法の仮説と独立性により、ベクトルとは独立しています。したがって、ベクトルおよびは独立しています。両方のベクトルには独立したコンポーネントがあります。による帰納法の仮説、による帰納法のベース。したがって、それらのコンポーネントは独立したランダム変数です。 $\mathbf{R} = (R_1,\dots,R_{n-1})$ $(S_{n},X_{n+1})$ $\mathbf{R}$ $\big(\frac{S_{n}}{S_{n}+X_{n+1}},S_{n}+X_{n+1}\big) = (R_n,S_{n+1})$ $\mathbf R$ $(R_n,S_{n+1})$

の分布をステートメントに含めることは問題ありません。証明は変更されません。の分布はすでにそこにありますとの独立性は帰納法のベースからと言っておく必要があります。 $R_n$ $S_n$ $R_n$ $S_{n+1}$

— ゾラスター
ソース