ガウス確率変数の積の期待

2つのガウスランダムベクトルがあるとすると、それらの積期待値はよく知られています独立を前提とせずに？ $p(x_1) = N(0,\Sigma_1), p(x_2) = N(0,\Sigma_2)$ $E[x_1x_2^T]$

random-variable normal-distribution expected-value

@ asd123 1）と書いた場合、とはベクトルであることが示唆されます。この場合、積は書面どおりに定義されません（ない限り）。あなたが意味するか？そうでない場合、どういう意味ですか？2）独立性がない場合、が共同で正規であるとは限らないため事前にそれらの共同分布（および/または分散/共分散行列）に関する詳細情報が必要と思われます。決定的なことは何でも言えます。

Σ

$\Sigma$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

x_{1} x_{2}

$x_{1}x_{2}$

n = 1

$n=1$

x_{1}^{T} x_{2}

$x_{1}^{\mathrm{T}}x_{2}$

(x_{1}, x_{2})

$(x_{1},x_{2})$

はい、とがベクトルであることを意味しました。彼らが一緒にガウスであることも知っています。それは役に立ちますか？

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

@ asd123部分的にはい、とは、それらが無相関である場合にのみ独立します（の分散/共分散行列を見てください）。非対角ブロック行列がゼロの場合、それらは無相関です）。それらが独立している場合は、上記の内積を書き出し、期待値を取得するだけでよいです。それらが独立していない場合、非対角ブロックエントリについて何か知っていますか？

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

x^{T} = (x_{1}^{T}, x_{2}^{T})

$x^{\mathrm{T}}=(x_{1}^{\mathrm{T}},x_{2}^{\mathrm{T}})$

ちなみに、これが本当にあなたの言うことなら、タイトルを「ガウスランダムベクトルの内積の期待」に変更することをお勧めします。

他の変数を転置するつもりでした。したがって、結果は行列です。つまり、（Mx1）x（1xM）=（MxM）

回答:

はい、よく知られている結果があります。編集に基づいて、最初に配列個々のエントリに焦点を合わせることができます。このようなエントリは、平均がゼロで、分散が有限の2つの変数の積、たとえばとです。コーシー・シュワルツの不等式を超えることはできません製品の期待の絶対値を意味。実際、の範囲のすべての値は、いくつかの従正規分布で発生するため、可能です。 したがって、のエントリは以下でなければなりません。 $E[x_1 x_2^T]$ $\sigma_1^2$ $\sigma_2^2$ $|\sigma_1 \sigma_2|$ $[-|\sigma_1 \sigma_2|, |\sigma_1 \sigma_2|]$ $i,j$ $E[x_1 x_2^T]$ $\sqrt{\Sigma_{1_{i,i}} \Sigma_{2_{j,j}}}$ （絶対値）。

私たちは今、仮定した場合、すべての変数が正常であり、そのの共分散行列ので、さらなる制限があるだろう、多変量である半正値でなければなりません。重要な点を説明するのではなく、説明します。仮定有する2つの成分および、その一の成分有し。ましょう及び単位分散と相関有し（従って特定）と仮定する単位分散（持つ）。の期待をしましょう $(x_1; x_2)$ $(x_1; x_2)$ $x_1$ $x$ $y$ $x_2$ $z$ $x$ $y$ $\rho$ $\Sigma_1$ $z$ $\Sigma_2$ $x z$ 可能との可能。を確立しましたおよび。ただし、すべての組み合わせが可能なわけではありません。少なくとも、共分散行列の行列式は負になることはできません。 これは重要な条件を課します $\alpha$ $y z$ $\beta$ $|\alpha| \le 1$ $|\beta| \le 1$ $(x_1; x_2)$

1 - α^{2} - β^{2} + 2 α β ρ - ρ^{2} \geq 0.

$1-\alpha ^2-\beta ^2+2 \alpha \beta \rho -\rho ^2 \ge 0.$

以下のための任意この内内接（その内部と一緒に）楕円である正方形。 $-1 \lt \rho \lt 1$ $\alpha, \beta$ $[-1, 1] \times [-1, 1]$

さらに制限を取得するには、変数に関する追加の仮定が必要です。

許容領域のプロット $(\rho, \alpha, \beta)$

代替テキスト

— whuber
ソース

強い結果はなく、ガウス性に依存しません。場合はと変数の分散を知ることが彼らの共分散について何かを暗示している場合スカラーで、あなたが求めています。whuberの答えは正しいです。コーシー・シュワルツの不等式と正の半定性により、可能な値が制約されます。 $x_1$ $x_2$

最も簡単な例は、変数のペアの二乗共分散がそれらの分散の積を超えることは決してないということです。共分散行列の場合、一般化があります。

、のブロック分割共分散行列を考え $[x_1 \ x_2]$

[\begin{array}{cc} Σ_{11} & Σ_{12} \\ Σ_{21} & Σ_{22} \end{array}] .

$\left[ \begin{array}{cc} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{array} \right].$

次に、 for all Schatten q-。共分散行列の正（半）確定性は、が正（半）確定でなければならないという制約も提供します。の（ムーア・ペンローズ）の逆である。

‖ Σ_{12} ‖_{q}^{2} \leq ‖ Σ_{11} ‖_{q} ‖ Σ_{22} ‖_{q}

$\Vert \Sigma_{12} \Vert_q^2 \leq \Vert \Sigma_{11} \Vert_q \Vert \Sigma_{22} \Vert_q$

Σ_{11} - Σ_{12} Σ_{22}^{- 1} Σ_{21}

$\Sigma_{11} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21}$

Σ_{22}^{- 1}

$\Sigma_{22}^{-1}$

Σ_{22}

$\Sigma_{22}$

— vqv
ソース

がゼロ平均と相関持つ二変量正規であると仮定します。その後 $(X,Y)$ $\rho$

${\mathrm E} XY= cov(X,Y)= \rho\sigma_X\sigma_Y$ 。

マトリックスすべてのエントリは形式です。 $x_1x_2^T$ $XY$

— ロナフ
ソース

...そして、もちろん、。これは、@ vqvによって提供される答えを示しています。@ronaf：なぜあなたは@vqvの答えに反対票を投じなかったのですか？

| ρ | \leq 1

$|\rho| \le 1$

— whuber

@whuber-さらに検討すると、私の答え-役立つために-はと座標間の共分散[ v_vの表記法の ]を知る必要があることに気付きます。はOPの質問では具体的に言及されていません-おそらくそれは問題の既知の「データ」の一部と考えるべきではありません[私の通知を逃れた点、私は恐れています]。その場合、@ vqvの回答とあなたの回答は確かにより密接です。私はあなたの両方の回答に賛成しています-そして、私が関係する問題を少し凝視してくれたことに感謝します。

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

Σ_{12}

$\Sigma_{12}$

Σ_{12}

$\Sigma_{12}$

— ronaf 2010