CDFからの確率変数の関数の期待

rvのCDFだけで確率変数の関数の期待値を計算することは可能ですか？Iは、関数ているとし $g(x)$ 性質を有する $\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx \leq \infty$ 及びIは、確率変数について持っている唯一の情報は、CDFです。

例えば、私は指数確率変数としてモデル化することができる3つのタイマであるシナリオ有する $X_1,X_2,X_3$ レートパラメータでは、 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ それぞれ。各瞬間に、いくつかの報酬関数に従って報酬を獲得し $g(x)$ ます。これは、時間まで待機する私の報酬である $t$ のように書くことができ $\int_0^tg(x)dx$ 。ただし、 $g(x)$ リターンが減少するため、で1秒待機することで得られる限界報酬は、 $t=0$ で1秒よりも大きくなります。この「ゲーム」は、次の2つのいずれかが発生すると終了します。両方のタイマーまたはが鳴るか、タイマーまたはが鳴る必要があります。私はこのゲームをプレイすることで期待される報酬を見つけようとしています。 $t=27$ $X_1$ $X_2$ $X_1$ $X_3$

現在、ゲームが終了するまでの時間をモデル化する確率変数のCDFを計算できますが、この情報を使用して、本当に必要なものがこの時間に関連付けられた報酬になるまで、この情報を使用する方法がわかりません。

W_{12} = max (X_{1}, X_{2}) W_{13} = max (X_{1}, X_{3}) Z = min (W_{12}, W_{13})

$W_{12}=\max(X_1,X_2) \quad W_{13}=\max(X_1,X_3) \quad Z=\min(W_{12},W_{13})$

F_{i} (x), i \in {1, 2, 3}

$F_i(x), i\in \{1,2,3\}$

X_{i}

$X_i$

Z

$Z$

F_{Z} (t) = F_{1} (t) F_{2} (t) + F_{1} (t) F_{3} (t) - F_{1} (t) F_{2} (t) F_{3} (t)

$F_Z(t) = F_1(t)F_2(t) + F_1(t)F_3(t) - F_1(t)F_2(t)F_3(t)$

確率変数が負でない値をとるときは、ショートカットを使用してCDFを使用して期待値を計算できます。つまり、です。私が確率変数の関数に使用できる同様のものはありますか、それとも最初にを計算してを計算する必要がありますか $E[X] = \int_0^\infty F(X\geq x)dx$ $Z$ $\int_0^\infty g(t)f_z(t)dx$

random-variable expected-value

— ココナッツバンディット
ソース

「唯一の」情報とはどういう意味ですか？CDFは、期待に関連する可能性のあるRVに関するすべてを伝えます。あなたの根本的な問題は、CDFがあなたに与えられる計算形式に関係している可能性があるようです。あなたの状況を説明してください。ところで、は、積分であっても、未定義または無限になる可能性があります有限です。

E [g (X)]

$E[g(X)]$

| g |

$|g|$

— whuber

私はあなたが部品en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts

— seanv507

場合ランダム変数のCDFであり、および（測定）関数の期待値であるとして求めることができるリーマン-スティールチェス積分 $F$ $X$ $g$ $g(X)$

E (g (X)) = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) d F (x) .

$\mathbb{E}(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(x) dF(x).$

これは無意識の統計学者の法則を表現しています。

も微分可能である場合は、と記述し、次のようにパーツごとに積分します。 $g$ $dF = -d(1-F)$

E (g (X)) = - g (x) (1 - F (x)) |_{- \infty}^{\infty} + \int_{- \infty}^{\infty} (1 - F (x)) g^{'} (x) d x

$\mathbb{E}(g(X)) = -g(x)(1-F(x)){\big|}_{-\infty}^\infty + \int_{-\infty}^\infty (1-F(x)) g^\prime(x)\, \text{d}x$

提供両方の加数が収束します。これは、いくつかのことを意味します。これは、などの特定の有限値で積分を破ることによって簡単に表すことができます。 $0$

${\lim}_{x\to -\infty} g(x)(1-F(x))$ および存在し、有限です。その場合、最初の加数はこれら2つの違いです。 ${\lim}_{x\to \infty} g(x)(1-F(x))$
$\lim_{t\to -\infty} \int_t^0 (1-F(x))g^\prime(x)\,\text{d}x$ およびが存在し、有限です。その場合、2番目の加数はこれら2つの和です。 $\lim_{t\to \infty} \int_0^t (1-F(x))g^\prime(x)\,\text{d}x$

積分を破るのに適した場所は任意のゼロです。なぜなら、提供されたは、大きなに対して十分に速く減少するからです-これにより、最初の加数が消滅し、生存関数に対する積分のみが残ります。 $g$ $g$ $|x|$ $g^\prime$ $1-F$

例

非負の変数の期待値は、である恒等関数に式を適用し、積分がゼロで始まる可能性があるという事実を利用することによって得られます。 $X$ $g(x)=x$ $g^\prime(x)=1$

E （ バツ ） = - バツ （ 1 - F （ バツ ） ） |_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} （ 1 - F （ バツ ） ） d バツ 。

$\mathbb{E}(X) = -x(1-F(x))\big|_{0}^\infty + \int_{0}^\infty (1-F(x))\,\text{d}x.$

提供（生存関数が過度に重い尾部を有していない、である）、第一項の消滅の上限。その下限は明らかに消えます。問題の表現を与えて、積分だけを残します。 $\lim_{x\to\infty} x (1-F(x)) = 0$

— whuber
ソース

よろしくお願いします。リーマンとスティルチェスの統合について今すぐ読む必要があります。

— CoconutBandit

アプリケーションでは、はを除いてどこでも継続的に微分可能であるため、の積分を2つのリーマン積分に分解し、複雑さを完全に無視できます。

F

$F$

0

$0$

0

$0$

— whuber

「合併症」とはどういう意味ですか？また、2番目の点では、をますか？そうでない場合、なぜが変更されたのですか？

\int_{t}^{0} (1 - F (x)) g (x) d x

$\int_t^0(1-F(x))g(x)dx$

\int_{t}^{0} (1 - F (x)) g^{'} (x) d x

$\int_t^0(1-F(x))g'(x)dx$

g^{'} (x)

$g'(x)$

g (x)

$g(x)$

— CoconutBandit

（1）ありがとう、それらの素数がそこにある必要がありました。（2）「合併症」とは、リーマン積分の代わりにリーマン・スティールチェス積分が必要であることを指します。

— whuber

これは、3つの基本的な微分ルールを使用します。合計ルール、積ルール、および定数の導関数がゼロであるという事実です。

— whuber