イベントと確率変数の関係は何ですか？

イベントは割り当てられたランダム変数に過ぎず、ランダム変数はイベントの一般化であると言われました。しかし、それをサンプル空間のサブセットとしてのイベントの定義に関連付けることはできません。さらに、確率変数は複数の結果を持つことができるのに対し、イベントは発生するかしないかのどちらかです。

イベントはバイナリ確率変数のようなものですか？もしそうなら、確率変数の各結果は本当にイベントですか？

また、条件付きの独立性の観点から、2つの概念が互いにどのように関連しているかを知る必要もあります。

実験は $\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} (\mathbb{X},\mathbb{B}, \P)$ どこ $\mathbb{X}$ サンプル空間です $\mathbb{B}$ すべてのイベントのセット（のサブセット） $\mathbb{X}$ 確率を割り当てます）と $\P$確率測度です。のポイント$\mathbb{X}$ 示されている $\omega$、および「基本イベント」（または「結果」）です。この実験のランダム変数は関数です$f \colon \mathbb{X}\mapsto \mathbb{R}$ のように書かれています $f(\omega)$、つまり、それらの値は基本的な結果によって決定される $\omega$。

イベントに対応 $A$ 指標確率変数です

$$I_A(\omega) = \begin{cases} 1 ~\text{if $A$ occurs, that is, $\omega\in A$.} \\ 0 ~\text{if $A$ do not occur, that is $\omega \not\in A$.} \end{cases}$$ この意味で、イベントは、この実験的なセットアップで定義されたすべての確率変数のセットのサブセットとして埋め込むことができます。その後の確率$A$ 発生は期待として書くことができます $$\P(A) = \E I_A.$$

コメントの追加の質問： $A$ そして $B$ （イベントとして）独立している場合、 $I_A$ そして $I_B$（ランダム変数として）独立しています。「I_A = 1とI_B = 1は独立していると言えますか？」上手、$I_A=1$ 単にイベントです $A$、今からお答えできると思います！

はい、イベントはブール値のような変数です（あなたはバイナリと言いましたが、これはあなたが言っていることだと思います）ランダム変数、より正確にはすべてのイベントに対応するブール値のランダム変数があります。コミュニティが異なれば、同じものに対してわずかに異なる用語（指標関数、特性関数、述語）を使用し、出力タイプは$\{0,1\}$ または $\{False, True\}$。

あなたはポイントを上げました：

確率変数が複数の結果を持つ可能性があるのに対し、イベントは発生する可能性があります。

確率のテキストでは、確率の公理が現状のままである理由を説明するのに十分ではないことがよくあるので、手で振りながら説明します。

あなたが確率論の基礎を発明していたとしましょう。あなたの最初の突き刺しは、世界があり得るいくつかの可能な方法があると言うことかもしれません：$X$、およびこれらの可能性のそれぞれに確率を割り当てるある種の関数 $f: X \to [0,1]$。たとえば、$X$ サイコロからの1から6の数字のセットであり、 $f(x) = 1/6$。

可能性のある世界のサブセット、つまりサイコロが3より大きい場合について話したいので、すぐにこれは少し制限的であることがわかります。したがって、理論を調整して、代わりに確率をセットに割り当てます。 $\mu: \mathcal{P}(X) \to [0,1]$ どこ $\mathcal{P}$すべてのサブセットのセットを示します。これらのサブセットのそれぞれがイベントと呼ばれ、イベントが発生したと言うとき、あなたが本当に意味することは、現実の世界がそのイベントで可能な世界の1つであることが判明したということです。 $\mu$ 確率を任意にセットに割り当てるだけではなく、 $f$ そして常識。

ほぼ満足していますが、モデル化したい他のものが当初は考慮されていなかったことに気づきました。 $X$。たとえば、サイコロが3回バウンドする確率について話したいとします。より一般的には、哲学者の帽子をかぶって、現実世界について話すことは不可能（または少なくとも非常に困難）であると判断します。私たちはそれについての限られた観察についてのみ話すことができます。したがって、代わりに新しいオブジェクトを作成します$\Omega$ これは、世界のより豊かなモデルを表します（たとえば、それはダイスの転がりの非常に正確な物理シミュレーションであるか、宇宙全体でさえあります）が、ランダム変数でのみそれについて話すことが許可されています。

代わりに次のように定義できます $X$ 確率変数として（関数 $\Omega \to \mathbb{N}$）、そしてそれぞれが興味のある特性について話している他の多くの。確率変数の結果のすべてのセット（単一の結果は単なる特殊なケースです）には、常に対応する可能な世界のセット（のサブセット）があります。$\Omega$）、 行事。

理解のために、有限のサンプル空間に限定します。

まず、あなたの質問に答えて、いいえ、確率変数の結果はイベントではありません。確率変数は、入力としてサンプル空間の要素を取り、実数を出力します。

たとえば、A、B、Cのラベルが付いた3つのボールを持つ骨壷からボールを​​描画するとします。骨壷内のすべてのボールのサンプル空間はS = {A、B、C}です。可能なイベントは8つあります：{}、{A}、{B}、{C}、{A、B}、{A、C}、{B、C}、{A、B、C}。イベント{B、C}は、描かれたボールがBまたはCであることを意味します。

確率変数は、サンプル空間での実数値関数です。確率変数Xが10をAに、10をBに、30をCに割り当てる場合、Aが描画される場合、Xの実現値は10であり、イベントではなく実数です。

xが数値の場合、X = xに対応するイベントは、Xによってxにマッピングされるサンプル空間要素のセットです。現在の例では、X = 10に対応するイベントは{A、B}です。これは、AとBの両方が10にマッピングされ、Cはマッピングされないためです。

確率変数とイベントの間の上記の関係は、他の概念にまで及びます。たとえば、ランダム変数XとYは、実数xとyの各ペアについてイベントX = xとY = yが独立している場合、独立しています。同様に、イベントX = xおよびY = yが条件付きで独立している場合、イベントZ = zで、XおよびYは条件付きで独立しています。

（ここでの質問は、イベントと確率変数の間の関係についてであり、確率、独立性、および条件付き独立性の定義についてではないと想定しています。）